1. Знайти відстань між точками А (2; 3; 5) и В (-1; 5; 8).
2. Точки М (3; -7; 1) і К (-3; 4; 3) – середини сторін АВ и ВС трикутника АВС відповідно. Знайти координати точок В і С, якщо А (2; -1; 2).
3. Знайти довжину вектора =2m-3n, якщо (1; -2; 1), (4; -1; 0).
4. Знайти косинус кута між векторами (-8; 6; 0) і (1; -2; 1).
5. Обчислити об’єм конуса, висота якого 4 см, а радіус основи 10 см.
6. Висота конуса дорівнює 4 см, а його об’єм – 8 π см3. Чому дорівнює площа основи конуса?
7. Два циліндра мають рівні основи. Об’єм першого дорівнює 8,1 π см3, а висота – 24 см. чому дорівнює об’єм другого циліндра, якщо його висота 8 см?
8. Осьовий переріз циліндра – прямокутник, периметр якого дорівнює 64см. Обчислити об’єм циліндра, якщо радіус основи дорівнює 4 см.

Для решения данного задания необходимо найти размер параллелепипеда.

Рассмотрим условие и проанализируем его;

По условию нам известно что прямоугольный параллелепипед разрезали на 24 кубика и у 12 кубиков окрашены две грани. Две грани у кубиков могут быть окрашены если они находились на ребре параллелепипеда за исключением вершин.

Вспомним что у прямоугольного параллелепипеда всего 12 ребер;

Распределить кубики по ребрам можно следующим образом;

4 ребра по 2, 4 ребра по 1;

Тогда стороны равны: 4; 3; 2.

Пошаговое объяснение:

Предположим, что у нас ровно k коробок полные. Тогда ровно k утверждений верно.
Утверждение: "хотя бы n коробок пустые" можно перефразировать как "максимум 2014-n коробок полные"
Тогда при k полных коробках можно определить истинность надписей на коробках.
1) 2014 коробок пустые - 0 коробок полные - не верно
2) хотя бы 2013 коробок пустые - максимум 1 полная - не верно
...
k) хотя бы 2015-k пустые - максимум k-1 полных - не верно
k+1) хотя бы 2014-k пустые - максимум k полных - верно
k+2) хотя бы 2013-k пустые - максимум k+1 полных - верно
...
2014) хотя бы 1 пустая - максимум 2013 полных - верно
Видно, что пункты с 1 по k-й не верны, а пункты с k+1 по 2014 верные. Количество верных пунктов: 2014 - (k+1) + 1 = 2014-k. Оно равно, как мы условились, количеству полных коробок. То есть 2014-k=k. Отсюда k=1007.