Задачи с института КАК МОЖНО ПОДРОБНЕЕ

1. В ящике 12 деталей, из них 10 деталей - стандартные. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что все они окажутся стандартными.

2. В студенческой группе 15 юношей и 10 девушек. На концерт группа получила 5 пригласительных билетов, которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на концерт пойдут:

1) 3 юноши и 2 девушки;

2) не менее 3 юношей?

3. Вероятность наступлений событий в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить не более трех опытов.

4. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий:

1) лишь одно стандартное;

2) не менее двух стандартных.

5. Предприятие изготовляет 95 % изделий стандартных, причем из них 86 % - первого сорта. Найти вероятность того, что:

1) взятое наудачу изделие первого сорта;

2) из двух взятых наудачу изделий хотя бы одно первого сорта.

6. На сборку поступило 1000 деталей от первого автомата, 2000 – от второго и 2500 – от третьего. Известно, что первый автомат дает брака 0,3 %, второй – 0,2 % и третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

7. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20 %, второй – 46 % и третьей – 34 %. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3 %, для второй – 2 %, а для третьей – 1 %. Взятое наудачу изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на первой фабрике.

1)  Находим первую производную функции:
y' = -3x²+12x+36
Приравниваем ее к нулю:
-3x²+12x+36 = 0
x₁ = -2
x₂ = 6
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-2) = -33
f(6) = 223
f(-3) = -20
f(3) = 142
ответ:   fmin = -33, fmax = 142
2)  
a) 1. Находим интервалы возрастания и убывания. 
Первая производная равна
f'(x) = - 6x+12
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
- 6x+12 = 0
Откуда:
x₁ = 2
(-∞ ;2)   f'(x) > 0   функция возрастает
(2; +∞)    f'(x) < 0функция убывает
В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 2 - точка максимума.
б)  1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = -12x2+12x
или
f'(x) = 12x(-x+1)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
12x(-x+1) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = 1
(-∞ ;0)   f'(x) < 0  функция убывает 
(0; 1)   f'(x) > 0   функция возрастает
 (1; +∞)   f'(x) < 0   функция убывает
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1 - точка максимума.

3. Исследуйте функцию с производной f(x)=2x^2-3x-1
1.  D(y) = R
2.  Чётность и не чётность:
f(-x) = 2(-x)² - 3*(-x) - 1 = 2x² + 3x - 1 функция поменяла знак частично. Значит она ни чётная ни нечётная
3.  Найдём наименьшее и наибольшее значение функции
Находим первую производную функции:
y' = 4x-3
Приравниваем ее к нулю:
4x-3 = 0
x₁ = 3/4
Вычисляем значения функции 
f(3/4) = -17/8
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 4
Вычисляем:
y''(3/4) = 4>0 - значит точка x = 3/4 точка минимума функции.
4.  Найдём промежутки возрастания и убывания функции:
1. Находим интервалы возрастания и убывания. 
Первая производная равна
f'(x) = 4x-3
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
4x-3 = 0
Откуда:
x₁ = 3/4
(-∞ ;3/4)   f'(x) < 0 функция убывает
 (3/4; +∞)   f'(x) > 0   функция возрастает
В окрестности точки x = 3/4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3/4 - точка минимума

В старших классах применили бы формулу для вычисления числа комбинаций  из 10 элементов по два: С(из 10 по 2)=(10·9)/(1·2)=45.

Необходимо каждому отличнику присвоить какую-то цифру, например, 1, 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8, 9, 10.
Тогда рассмотреть следующие пары: 
1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8, 1-9, 1-10
2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-8, 2-9, 2-10
3-4, 3-5, 3-6, 3-7, 3-8, 3-9, 3-10
4-5, 4-6, 4-7, 4-8, 4-9, 4-10.
5-6, 5-7, 5-8, 5-9, 5-10
6-7, 6-8, 6-9, 6-10.
7-8, 7-9, 7-10
8-9, 8-10
9-10

Посчитаем: 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
Всего