а) Доказано; б) 48
Пошаговое объяснение:
a)
Т.к. M и N середины сторон треугольника ABC, то MN - средняя линия, а значит MN||BC. Отрезки, лежащие на параллельных прямых параллельны. Тогда MK||BL. Т.к. M - середина AB и MK||BL, то MK - средняя линия треугольника ABL, а значит K середина AL, т.е. AK=KL. Тогда AM+AK=BM+KL. Из условия вписанной в четырехугольник окружности следует, что BM+KL=MK+BL, а так как MK - средняя линия, то MK=BL/2 и BM+KL=3BL/2. Итого P=(AM+AK)+(BM+KL)+BL=2(BM+KL)+BL=4BL. Получили, что P/BL=4BL/BL=4. Доказано.
б)
Пусть AK=KL=x. Тогда x+10=3BL/2. Значит BL=2(x+10)/3. По теореме косинусов из ΔABC AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos∠ABC, следовательно, 34^2=20^2+42^2-2*20*42*cos∠ABC, cos∠ABC=3/5. По теореме косинусов из ΔABL 4x^2=20^2+(2(x+10)/3)^2-2*20*2(x+10)/3*3/5, x=8 (корень -10 посторонний). Поэтому BL=2(8+10)/3=12. Применим формулу, доказанную в пункте a): P=4BL. Итого P=4*12=48.
Задача решена!
