3.2. Комплексные числа
Понятие мнимой единицы
Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: .Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – “мнимый”), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.
Из этого равенства находим . Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел. Например,
Определение комплексного числа
Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.
Числа вида – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.
Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:
а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(ab)2 = a2 2ab + b2,
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab b3.
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.
Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).
Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая
160 грн заработает первая бригада
80 грн заработает вторая бригада
Пошаговое объяснение:
Весь объём работы примем за 1 (одна целая) часть.
Пусть х часов время выполнения работы первой бригадой.
1/х части поля в час - производительность первой бригады
(x+12) часов - время выполнения работы второй бригадой
1/(х+12) части поля в час - производительность второй бригады
1 : 8 = 1/8 часть поля в час - производительность труда двух бригад вместе
Составим уравнение:
1/х + 1/(х+12) = 1/8 | * 8x(x+12)
8(x+12)+ 8x = x(x+12)
8x+96+8x = x² +12x
16x +96=x²+12x
x²+12x-16x-96 = 0
x²- 4x - 96 = 0
D = 16 - 4*1*(-96) = 16 +384=400=20²
x₁= (4-20)/2= -16/2 = -8 - не удовл. условию
х₂= (4+20)/2 = 24/2 = 12 (ч.) время работы первой бригады
12+12 = 24 (ч.) время работы второй бригады.
Стоимость всей выполненной работы составляет 240 грн.
1/12 * 8 = 8/12 = 2/3 части работы выполнит первая бригада
1/24 * 8 = 8/24 = 1/3 части работы выполнит вторая бригада
240 * 2/3 = 160 грн заработает первая бригада
240 * 1/3 = 80 грн заработает вторая бригада
