Пример 3.

Задан закон распределения дискретной случайной величины X.

х 0,3 0,4 0,7 0,9 0,2

р 0,1 0,3 р 0,4 0,1

Найти неизвестную вероятность p, математическое ожидание M и дисперсию,

Для решения данной задачи, нам необходимо найти неизвестную вероятность p, математическое ожидание M и дисперсию.

1. Находим неизвестную вероятность p:

Из таблицы видно, что для значения х=0.3, вероятность р=0.4. Из этого следует, что p=0.4.

2. Находим математическое ожидание M:

Математическое ожидание M находится по формуле:

M = Σ (х * р)

где Σ (сигма) означает сумму всех значений.

Выполняем вычисления:

M = (0.3 * 0.1) + (0.4 * 0.3) + (0.7 * p) + (0.9 * 0.4) + (0.2 * 0.1)
M = (0.03) + (0.12) + (0.7 * p) + (0.36) + (0.02)
M = 0.53 + (0.7 * p) + 0.36 + 0.02
M = 0.91 + (0.7 * p)

Таким образом, математическое ожидание M равно 0.91 + (0.7 * p).

3. Находим дисперсию:

Дисперсия вычисляется по формуле:

D = Σ [ (х - M)^2 * р ]

Выполняем вычисления:

D = [ (0.3 - M)^2 * 0.1 ] + [ (0.4 - M)^2 * 0.3 ] + [ (0.7 - M)^2 * p ] + [ (0.9 - M)^2 * 0.4 ] + [ (0.2 - M)^2 * 0.1 ]

Подставляем значение М, полученное в предыдущем шаге:
D = [ (0.3 - (0.91 + 0.7p))^2 * 0.1 ] + [ (0.4 - (0.91 + 0.7p))^2 * 0.3 ] + [ (0.7 - (0.91 + 0.7p))^2 * p ] + [ (0.9 - (0.91 + 0.7p))^2 * 0.4 ] + [ (0.2 - (0.91 + 0.7p))^2 * 0.1 ]

Выполняем расчеты:

D = [ (0.3 - 0.91 - 0.7p)^2 * 0.1 ] + [ (0.4 - 0.91 - 0.7p)^2 * 0.3 ] + [ (0.7 - 0.91 - 0.7p)^2 * p ] + [ (0.9 - 0.91 - 0.7p)^2 * 0.4 ] + [ (0.2 - 0.91 - 0.7p)^2 * 0.1 ]

D = [ (-0.61 - 0.7p)^2 * 0.1 ] + [ (-0.51 - 0.7p)^2 * 0.3 ] + [ (-0.21 - 0.7p)^2 * p ] + [ (-0.01 - 0.7p)^2 * 0.4 ] + [ (-0.71 - 0.7p)^2 * 0.1 ]

Таким образом, дисперсия D равна функции, зависящей от неизвестной вероятности p.

Окончательно, мы нашли неизвестную вероятность p, математическое ожидание M и дисперсию D, и ответ зависит от значения неизвестной вероятности p.