Пример 1. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения

Хi 6 8 10 18 21

Рi 0.1 0.2 0.1 0.3 0.4

Найти математическое ожидание и дисперсию, среднее квадратическое отклонение

Для начала, давайте разберемся с понятием дискретной случайной величины и ее ряда распределения.

Дискретная случайная величина - это случайная величина, которая может принимать только определенные значения из заданного множества. В данном случае, наша случайная величина может принимать значения 6, 8, 10, 18 и 21.

Ряд распределения представляет собой таблицу, где указывается каждое значение случайной величины и соответствующая вероятность его появления. В данном случае, значения 6, 8, 10, 18 и 21 соответствуют вероятностям 0.1, 0.2, 0.1, 0.3 и 0.4 соответственно.

Теперь перейдем к нахождению математического ожидания (или среднего значения), дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание:
Математическое ожидание вычисляется по формуле: E(X) = Σ(Хi * Рi), где Σ - сумма всех значений Хi * Рi.

E(X) = 6 * 0.1 + 8 * 0.2 + 10 * 0.1 + 18 * 0.3 + 21 * 0.4
E(X) = 0.6 + 1.6 + 1 + 5.4 + 8.4
E(X) = 17

Таким образом, математическое ожидание (среднее значение) равно 17.

Шаг 2: Найдем дисперсию:
Дисперсия вычисляется по формуле: Var(X) = Σ(Хi - E(X))^2 * Рi, где Σ - сумма всех значений (Хi - E(X))^2 * Рi.

Var(X) = (6 - 17)^2 * 0.1 + (8 - 17)^2 * 0.2 + (10 - 17)^2 * 0.1 + (18 - 17)^2 * 0.3 + (21 - 17)^2 * 0.4
Var(X) = 11^2 * 0.1 + 9^2 * 0.2 + 7^2 * 0.1 + 1^2 * 0.3 + 4^2 * 0.4
Var(X) = 121 * 0.1 + 81 * 0.2 + 49 * 0.1 + 1 * 0.3 + 16 * 0.4
Var(X) = 12.1 + 16.2 + 4.9 + 0.3 + 6.4
Var(X) = 39.9

Таким образом, дисперсия равна 39.9.

Шаг 3: Найдем среднее квадратическое отклонение:
Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле: SD(X) = sqrt(Var(X)), где sqrt - корень квадратный.

SD(X) = sqrt(39.9)
SD(X) ≈ 6.318

Таким образом, среднее квадратическое отклонение равно примерно 6.318.

Вот и все! Мы нашли математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для данной дискретной случайной величины.