Докажите, что 11 коней не
могут побить все оставшиеся поля шахматной доски.
Решение. Закрасим на доске 12 полей
(см. рисунок). Никакие два из этих полей не могут быть побиты одним конем.
Значит, чтобы побить даже только раскрашенные поля, понадобится минимум
12 коней
Пошаговое объяснение:
Комментарий к решению. Идея выделить 12 полей так,
чтобы никакие два не бились одним конем— достаточно типовая. Заметив, что 12 кратно 4, естественно попытаться
использовать симметрию доски. Тройки закрашенных полей естественно пытаться рассовывать по углам подальше
друг от друга.
Информацию о числе (а еще лучше — о расположении) узких мест
можно и нужно использовать и при построении примера. В частности,
этот прием встречается в задачах типа «Оценка
+ пример».
задуманные числа 9 и 38
Пошаговое объяснение:
Пусть задуманные числа а и b. Произведение ab больше чем их сумма (a+b) умонженная на 8 (т.е. 8* (a+b)), минус квадрат одного из чисел, например квадрат числа a.
Запишем формально, алгебраически, условие задачи:
ab-(8(a+b)-a²)=47;
преобразуем:
ab-8a-8b+a²=47;
сгруппируем и запишем в виде произведения множителей:
(a²-8a)+(ab-8b)=47; a(a-8)+b(a-8)=47; (a-8)(a+b)=47.
Итак получили, что произведение двух различных чисел равно числу 47. Но число 47 простое число. Т.е. единственные множители, на которые 47 разлагается это 1 и 47. Значит запишем:
a-8=1; a+b=47;
a=9; b=38.
Замечание: в условии не сказано, квадрат какого числа вычитается из суммы, но если вычесть не а², а b², то получим b=9; a=38. Так что ответ единственный: задуманные числа 9 и 38.
