При каких значениях p квадратное уравнение x^2-9p x+36=0 имеет два корня?

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

Пошаговое объяснение:

Если функция  дифференцируема на интервале  и  является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей, то такая функция называется монотонной на данном интервале.

возрастание и убывание функции

– если  на интервале [a; b] производная  f' >0, то функция  возрастает на данном интервале;

– если   на интервале [a; b] производная f' < 0, то функция  убывает на данном интервале.

у нас

функция убывает на промежутках [-5; -4] ∪ [-2; 1]

функция возрастает на промежутках [-4; -2] ∪ [1; 5]