Чи можна по колу розставити числа від 1 до 2016 таким чином, що будь-які 2 сусідніх числа відрізнялися б на 2 чи в 2 рази?

Нет, нельзя.

Предположим обратное.

Рассмотрим число 2015. Рядом с ним не может стоять число 2016. Поэтому соседи 2015 числа меньшие 2015. Тогда один отличаются от него либо в два раза, либо на 2. Но в два раза отличаться не могут — 2015 нечетное число. Поэтому рядом с ним стоят два числа 2013, но все числа различны, получили противоречие.