Y=\root(3)(1-x^(3))
1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Для начала, рассмотрим каждый пункт вопроса по порядку:

1) Найдем область определения функции Y.
Область определения состоит из всех значений x, для которых функция Y определена. В данном случае, функция Y определена для любого значения x, так как корень n-ой степени из любого числа существует. Поэтому, область определения функции Y - это все действительные числа.

2) Найдем область непрерывности функции и точки разрыва.
Функция Y будет непрерывной для всех значений x, за исключением тех, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае, знаменатель равен нулю, когда 1 - x^3 равно нулю. Решим уравнение 1 - x^3 = 0 для нахождения точек разрыва:
1 - x^3 = 0
x^3 = 1
x = 1^(1/3)
x = 1
Таким образом, функция Y будет непрерывной для всех значений x, кроме x = 1. Точка разрыва функции Y - это x = 1.

3) Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность.
Чтобы исследовать функцию на четность и нечетность, заменим x на -x в функции Y:
Y(-x) = \root(3)(1 - (-x)^3)
Y(-x) = \root(3)(1 - x^3)
Таким образом, функция не является четной, так как Y(-x) не равна Y(x), но она является нечетной, так как Y(-x) = -Y(x).

Чтобы исследовать функцию на периодичность, мы можем заметить, что функция Y не имеет явного периода, так как выражение 1-x^3 внутри корня не является периодическим. Поэтому функция Y не является периодической.

4) Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Для нахождения точек пересечения графика функции Y с осью x, мы должны решить уравнение 1 - x^3 = 0, так как функция Y будет пересекать ось x, когда значение Y равно нулю:
1 - x^3 = 0
x^3 = 1
x = 1^(1/3)
x = 1
Таким образом, функция Y пересекает ось x в точке (1, 0).

Для нахождения точек пересечения графика функции Y с осью y, мы должны найти значение функции Y, когда x = 0:
Y(0) = \root(3)(1 - 0^3)
Y(0) = \root(3)1
Y(0) = 1
Таким образом, функция Y пересекает ось y в точке (0, 1).

5) Найдем асимптоты графика функции.
Для нахождения вертикальных асимптот, мы должны рассмотреть значения x, при которых знаменатель функции Y равен нулю. В данном случае, знаменатель функции Y будет равен нулю только в точке x = 1 (точка разрыва). Значит, вертикальной асимптоты нет.

Для нахождения горизонтальной асимптоты, мы должны рассмотреть предел функции Y при x стремящемся к плюс или минус бесконечности. Раскрывая выражение функции Y, получим:
Y = \root(3)(1 - x^3)
При x -> +∞:
lim(Y) = \root(3)(1 - x^3)
При x -> -∞:
lim(Y) = \root(3)(1 - (-x)^3)

Так как приходим получить численное значение в подобной ситуации, чтобы получить результат можно делать приближения, а еще ресурска чтобы вычислить это выражение так и отыскать мне не известна. Так что горизонтальные асимптоты мы не найдем.

6) Найдем интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.
Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции Y, мы должны найти производную функции и решить неравенство производной:
Y' = dY/dx = (1/3)(1 - x^3)^(-2/3) * (-3x^2)

Решим неравенство Y' > 0:
(1/3)(1 - x^3)^(-2/3) * (-3x^2) > 0

Здесь мы можем заметить, что производная Y' меняет знак на каждом из интервалов (-∞, 0), (0, 1) и (1, +∞). Значит, функция Y возрастает на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞), а убывает на интервале (0, 1).

Для нахождения экстремумов функции, мы должны решить уравнение Y' = 0:
(1/3)(1 - x^3)^(-2/3) * (-3x^2) = 0
x^2 = 0

Решением данного уравнения является только x = 0. Таким образом, функция Y имеет точку экстремума в (0, 1).

7) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости функции Y, мы должны найти вторую производную функции и решить неравенство производной:
Y'' = d^2Y/dx^2 = (1/3)(1 - x^3)^(-5/3) * (-5x^2) * (-3x^2) - (1/3)(1 - x^3)^(-2/3) * (-6x)
Y'' = (5x^4 - 3x^2) / (3(1 - x^3)^(5/3))

Решим неравенство Y'' > 0:
(5x^4 - 3x^2) / (3(1 - x^3)^(5/3)) > 0

Здесь мы можем заметить, что вторая производная Y'' меняет знак на каждом из интервалов (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) и (1, +∞). Значит, функция Y выпукла на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), вогнута на интервале (-1, 0) и (0, 1).

Для нахождения точек перегиба функции, мы должны решить уравнение Y'' = 0:
(5x^4 - 3x^2) / (3(1 - x^3)^(5/3)) = 0
5x^4 - 3x^2 = 0
x^2(5x^2 - 3) = 0

Решением данного уравнения является x = 0 и x = ±√(3/5). Таким образом, функция Y имеет точки перегиба в (0, 1) и (-√(3/5), -1), (√(3/5), -1).

Итак, ответы на все пункты вопроса:
1) Область определения функции Y - это все действительные числа.
2) Область непрерывности функции Y - это все действительные числа, кроме x = 1 (точка разрыва).
3) Функция Y является нечетной, но не является четной и не является периодической.
4) Точки пересечения графика функции Y с осями координат - это (1, 0) и (0, 1).
5) Функция Y не имеет вертикальных и горизонтальных асимптот.
6) Интервалы возрастания и убывания функции Y - это (-∞, 0), (1, +∞) и (0, 1); точка экстремума в (0, 1).
7) Интервалы выпуклости и вогнутости функции Y - это (-∞, -1), (1, +∞) и (-1, 0), (0, 1); точки перегиба в (0, 1) и (-√(3/5), -1), (√(3/5), -1).