(8-9y)×y=-40+(16-3y)×(6+3y)​

Уравнение касательной в точке (x0; y0)
f(x) = y0 + y ' (x0)*(x - x0)
x0 = 0,25 = 1/4. Найдем y0
y0 = y(x0) = 8*(1/4)^4 - 3*(1/4)^2 - 131*1/4 - 7 = 2^3/2^8 - 3/4^2 - 131/4 - 7 =
= 1/32 - 3/16 - 131/4 - 7 = (1 - 3*2 - 131*8 - 7*32)/32 = -1277/32
Найдем y ' (x0)
y ' = 32x^3 - 6x - 131; y ' (1/4) = 32/4^3 - 6/4 - 131 = 1/2 - 3/2 - 131 = -132
Уравнение
f(x) = -1277/32 - 132(x - 1/4) = -1277/32 - 132x + 132/4 = -132x - 221/32
Теперь находим точки пересечения
8x^4 - 3x^2 - 131x - 7 = -132x - 221/32
8x^4 - 3x^2 + x - 224/32 + 221/32 = 0
Приводим подобные и Умножаем все на 32
 256x^4 - 96x^2 + 32x - 3 = 0
256x^4 - 64x^3 + 64x^3 - 16x^2 - 80x^2 + 20x + 12x - 3 = 0
(4x - 1)(64x^3 + 16x^2 - 20x + 3) = 0
(4x - 1)(64x^3 + 48x^2 - 32x^2 - 24x + 4x + 3) = 0
(4x - 1)(4x + 3)(16x^2 - 8x + 1) = 0
x1 = 1/4; y(1/4) = -1277/32
x2 = -3/4; y(-3/4) = -132*(-3/4) - 221/32 = 3168/32 - 221/32 = 2947/32
Квадратное уравнение в скобках корней не имеет.
ответ: У графика и его касательной 2 общие точки.

Уравнение касательной в точке (x0; y0)
f(x) = y0 + y ' (x0)*(x - x0)
x0 = 0,25 = 1/4. Найдем y0
y0 = y(x0) = 8*(1/4)^4 - 3*(1/4)^2 - 131*1/4 - 7 = 2^3/2^8 - 3/4^2 - 131/4 - 7 =
= 1/32 - 3/16 - 131/4 - 7 = (1 - 3*2 - 131*8 - 7*32)/32 = -1277/32
Найдем y ' (x0)
y ' = 32x^3 - 6x - 131; y ' (1/4) = 32/4^3 - 6/4 - 131 = 1/2 - 3/2 - 131 = -132
Уравнение
f(x) = -1277/32 - 132(x - 1/4) = -1277/32 - 132x + 132/4 = -132x - 221/32
Теперь находим точки пересечения
8x^4 - 3x^2 - 131x - 7 = -132x - 221/32
8x^4 - 3x^2 + x - 224/32 + 221/32 = 0
Приводим подобные и Умножаем все на 32
 256x^4 - 96x^2 + 32x - 3 = 0
256x^4 - 64x^3 + 64x^3 - 16x^2 - 80x^2 + 20x + 12x - 3 = 0
(4x - 1)(64x^3 + 16x^2 - 20x + 3) = 0
(4x - 1)(64x^3 + 48x^2 - 32x^2 - 24x + 4x + 3) = 0
(4x - 1)(4x + 3)(16x^2 - 8x + 1) = 0
x1 = 1/4; y(1/4) = -1277/32
x2 = -3/4; y(-3/4) = -132*(-3/4) - 221/32 = 3168/32 - 221/32 = 2947/32
Квадратное уравнение в скобках корней не имеет.
ответ: У графика и его касательной 2 общие точки.