1.На доске выписаны числа 1; 16; 56 и 256. На каждом шаге разрешается выбрать из написанных любые три числа х, у и z и дописать три числа х(у+z), у(z+х) и z(х+у). При этом все числа, записанные на доске, остаются на ней. Может ли в какой-то момент на доске появиться число 2020?
2.Можно ли все натуральные числа от 1 до 999 включительно разбить на три группы таким образом, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковые? Группы могут содержать разное количество чисел, а каждое число должно войти только в одну группу. Если можно, запишите как, если нет, объясните почему.
3.В задачнике 200 задач с номерами от 1 до 200. Уровень сложности задачи равен количеству различных чисел, на которые делится её номер. Сколько задач наивысшего уровня сложности в этом задачнике?
4.Вася взял прямоугольник с длиной 179 и шириной 57 и разбил его на прямоугольники, все стороны которых – целые числа. Стороны всех прямоугольников параллельны сторонам исходного прямоугольника. Верно ли, что среди них обязательно есть прямоугольник, периметр которого кратен 4?
5. Вася записал на доске четыре натуральных числа. Затем Петя выписал их всевозможные попарные суммы, а сами Васины числа стёр. Может ли Маша быть уверена, что по Петиным числам она однозначно восстановит исходные Васины числа?