Найти экстримальные точки функции 8x^3 -7xy +y^2 +2x -3xy^2 +2y -3x^2 +8 во всей плоскости и при условии xy - x^2 - 4y^2 ⩽ 10

А) 21 | 3                    Б) 42 | 2              

   7 | 7                           21 | 3

   1 | 1                            7 | 7

21 = 3 · 7                       1

                                     42 = 2 · 3 · 7

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

В) 455 | 5                       Г) 12820 | 2

    91 | 7                              6410 | 2

    13 | 13                             3205 | 5

    1                                      641 | 641 - простое число

455 = 5 · 7 · 13                    1

                                           12820 = 2² · 5 · 641

                                           

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры. В нём для треугольника {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом при вершине {\displaystyle C} со сторонами {\displaystyle a,b,c}, противолежащими вершинам {\displaystyle A,B,C}соответственно, проводится высота {\displaystyle CH}, при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACH} и {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle CBH}, из чего непосредственно следуют соотношения:

{\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}}}; {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b}}}.

При перемножении крайних членовпропорций выводятся равенства:

{\displaystyle a^{2}=c\cdot |HB|}; {\displaystyle b^{2}=c\cdot |AH|},

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|HB|+|AH|\right)=c^{2}\,\Leftrightarrow \,a^{2}+b^{2}=c^{2}}.