Для определённости пронумеруем виды трёхслойного куба (далее куб) по порядку по строкам. Так, например, третий – это полностью симметричный.
Далее, для описания манипуляций с видами будем использовать термины:
RT (правый единичный поворот на 90 градусов по часовой стрелке) , LT (левый единичный поворот на 90 градусов против часовой стрелки) , UT (разворот на 180 градусов)
Наша начальная цель: собрать из пяти видов верхнюю часть куба, т.е. его грани, стоящие над столом. Будем считать, что мы смотрим на стол с кубом сверху. Верхнюю часть куба, состоящую из пяти видов, будем собирать в виде крестовой раскладки.
В центре креста раскладки будет верхняя грань, которая смотрит на нас, когда мы смотрим вниз на стол с кубом. Дальняя от нас (сверху экрана, если смотреть на ноутбук) часть креста раскладки: это задняя сторона куба. Ближняя к нам (снизу экрана, если смотреть на ноутбук) часть креста раскладки: это передняя сторона куба. Левая часть креста раскладки – это левая сторона куба и правая часть раскладки – соответственно правая сторона.
Важно понимать, что на стыках видов (на рёбрах) при составлении раскладки должны совпадать цветные квадратики на краях видов: чёрный к чёрному и белый к белому, поскольку рёбра куба одновременно являются и рёбрами маленьких кубиков, каждый из которых обладает однотонным окрасом со всех сторон.
Перебор возможных вариантов удобно делать на черновике с карандашом и бумагой, либо с ручкой, но тогда нужно зачёркивать неудачные варианты.
Перебор должен быть системным, иначе мы пропустим тот или иной вариант, и можем пропустить и нужный нам вариант. В качестве системы можно предложить, например, такой график просмотра вариантов.
1. Выбираем вид для верхней грани куба, т.е. для центра креста раскладки (сначала первый, потом второй и т.д.)
2. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной) грани, пытаемся подмонтировать в качестве задней грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.
3. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной) и задней граней, пытаемся подмонтировать в качестве правой грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.
4. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной), задней и правой граней, пытаемся подмонтировать в качестве передней грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.
5. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной), задней, правой и передней граней, пытаемся подмонтировать в качестве левой грани к нему оставшийся вид.
При этом нужно следить, чтобы совпадали рёбра не только верхней (центральной) грани с боковыми, но и рёбра между боковыми гранями.
Перед перебором нужно отметить, что грани 3-его и 5-ого видов – несовместимы. Как их не крути, их рёбра никогда не совместятся. Значит, ни один из этих видов не может служить верхней гранью куба, поскольку иначе он бы взаимодействовал по ребру с несовместным видом. Кроме того, эти несовместные виды не могут быть рядом и на соседних боковых гранях. Таким образом, мы понимаем, что при переборе 3-ий и 5-ый виды можно размещать только на противоположных гранях.
Последовательный перебор из, примерно десятка неудачных – приводит к единственному хорошему варианту:
В центре креста раскладки: 2-ой вид. Слева: 3-ий вид. Справа: 5ый вид RT. Сзади: 1-ый вид. Впереди: 4-ый вид UT.
Эта раскладка показана на первом рисунке. Обратите внимание, что по раскраске совмещены не только рёбра на стыке видов центральных и боковых граней, но и рёбра на стыке соседних боковых граней.
Теперь очень аккуратно в строгом соответствии с буквами-метками (они должны совместиться) переворачиваем раскладку, так чтобы получилась нижняя грань. Это показано на втором рисунке и там уже проявляется по совмещениям на рёбрах вид нижней грани.
Если взглянуть на предлагаемые варианты, то мы можем легко убедиться, что подходит и вариант (А) и вариант (Д) при повороте их на LT.
Выбрать нужный вариант – можно только сосчитав количество белых (их должно быть 12) и чёрных кубиков (их должно быть 15).
Смотрим на первую раскладку. На верхней грани – 3 белых. В среднем видимом слое, в том, что зажат между верхней и нижней гранью (состоящем из 8 кубиков) – 4 белых. В нижней грани (что можно увидеть на второй картинке) – как минимум 3 кубика.
Всего в видимой и известной части кубика мы насчитали 10 белых кубиков. А должно их быть 12. Значит, один белый кубик находится в центре куба (он невидим) и ещё один белый кубик мы можем разместить в положение, отмеченное на втором рисунке знаком вопроса.
Чтобы доказать, что выражение \(2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}\) делится на 17 для любого n, нам понадобится использовать метод математической индукции.
Шаг 1: Проверка базового случая
Для начала, давайте проверим, выполняется ли это утверждение для n=1. Подставим n=1 в данное выражение:
\(2^{5 \cdot 1+3} + 5^1 \cdot 3^{1+2} = 2^8 + 5 \cdot 3^3 = 256 + 5 \cdot 27 = 256 + 135 = 391\)
Мы видим, что данное выражение не делится на 17, так как 391 не кратно 17.
Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что для некоторого значения k данное выражение \(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2}\) делится на 17.
Шаг 3: Доказательство для k+1
Теперь давайте докажем, что это утверждение выполняется и для k+1. Подставим n=k+1 в данное выражение:
\(2^{5(k+1)+3} + 5^{k+1} \cdot 3^{(k+1)+2} = 2^{5k+8} + 5^{k+1} \cdot 3^{k+3}\)
Согласно предположению индукции, мы знаем, что \(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2}\) делится на 17. Представим это выражение в виде:
\(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2} = 17 \cdot m\) для некоторого целого числа m.
Тогда мы можем переписать наше выражение для n=k+1:
\(2^{5k+8} + 5^{k+1} \cdot 3^{k+3} = (2^{5k+3} \cdot 2^5) + 5 \cdot (5^k \cdot 3^{k+2}) \cdot 3\)
Теперь заметим, что \(2^5 = 32\), поэтому мы можем переписать:
\(= (32 \cdot 2^{5k+3}) + 5 \cdot (5^k \cdot 3^{k+2}) \cdot 3\)
Теперь мы можем использовать сделанное предположение и использовать его представление \(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2} = 17 \cdot m\):
\(= (32 \cdot 17 \cdot m) + 5 \cdot (17 \cdot m) \cdot 3\)
Дальше мы можем факторизовать 17 и 3:
\(= (32 \cdot 17 \cdot m) + 5 \cdot (3 \cdot 17 \cdot m)\)
Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель 17 в обоих слагаемых:
\(= 17 \cdot (32 \cdot m + 5 \cdot 3 \cdot m)\)
Таким образом, мы получили выражение, которое является произведением 17 и другого целого числа. Это означает, что \(2^{5(k+1)+3} + 5^{k+1} \cdot 3^{(k+1)+2}\) делится на 17.
Шаг 4: Заключение
Мы доказали, что если данное выражение делится на 17 для некоторого k, то оно будет делиться на 17 и для k+1. Поскольку базовый случай (n=1) не удовлетворяет условию, то выражение не делится на 17 для любого n.
Таким образом, мы можем дать окончательный ответ:
Для любого n, выражение \(2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}\) не делится на 17.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
