Даны вершины тетраэдра:
A(-1; 2; 4),B(-1; -2; -4), C(3; 0; -1), D(7; -3; 1).
Найти высоту из вершины D.
1) Вычисляем площадь грани ABC .
Для этого надо найти векторное произведение векторов АВ и АС.
Вектор АВ = (-1-(-1); -2-2; -4-4)) = (0; -4; -8).
Вектор АC = (3-(-1); 0-2; -1-4)) = (4; -2; -5).
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.
i j k| i j
0 -4 - 8| 0 -4
4 -2 -5| 4 -2 = 20i - 32j + 0k - 0j - 16i + 16k =
= 4i - 32j + 16k = (4; -32; 16).
Модуль равен √(4² + (-32)² + 16²) = √1296 = 36.
Площадь S = (1/2)*36 = 18.
2) Находим объем пирамиды ABCD .
Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
ABxAC = (4; -32; 16). Найдено выше.
Вектор АD = (7-(-1); -3-2; 1-4) = (8; -5; -3).
V =(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(4*8 + (-32)*(-5) + 16*(-3))| = 144/6 = 24.
3) Находим высоту по формуле H = 3V/S = 3*24/18 = 4.
Даны вершины треугольника: A(-1; 2), B(1; -3), C(6; 4).
Найти высоту АК можно несколькими
1 - найти длины сторон, затем по формуле Герона найти площадь АВС.
Тогда AK = 2S/BC.
2 - векторным далее опять AK = 2S/BC.
3 - найти уравнение прямой в виде Ax+By+C=0, включающей сторону ВС треугольника.
Тогда АК = d = (A*x(A)+B*y(A)+C)/(√(A² + B²).
4 - есть вариант с прямым использованием координат вершин.
Площадь треугольника по формуле:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.
S = 19,5
Высоты треугольника АА1 = 2S/BC = 4,533657911
ВВ1 = 2S/AC = 5,357061994
СС1 = 2S/AB = 7,242118189 .
