Для доказательства данного тождества мы воспользуемся формулами произведения тригонометрических функций.
Начнем с левой части тождества:
cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a.
Мы можем заметить, что это является разностью двух квадратов, а именно (cos^2a)^2 - 2*2*cos^2a*sin^2a + (sin^2a)^2.
Теперь воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: sin2a = 2*sin a*cos a.
Мы можем переписать исходное выражение следующим образом:
(cos^2a)^2 - 2*sin^2a*cos^2a + (sin^2a)^2.
Далее, воспользуемся формулой сложения и вычитания тригонометрических функций:
cos2a = cos^2a - sin^2a,
sin2a = 2*sin a*cos a.
Тогда из наших предыдущих выражений мы можем выразить cos^2a и sin^2a через cos2a и sin2a:
cos^2a = (1 + cos2a) / 2,
sin^2a = (1 - cos2a) / 2.
Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:
[(1 + cos2a) / 2]^2 - 2 * [(1 - cos2a) / 2] * [(1 + cos2a) / 2] + [(1 - cos2a) / 2]^2.
После раскрытия скобок получим:
(1 + 2cos2a + cos^2(2a)) / 4 - (1 - cos^2(2a)) + (1 - 2cos2a + cos^2(2a)) / 4.
Просуммируем и сократим некоторые члены выражения:
1/4 + 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 - 1 + cos^2(2a) - 1/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4.
Обратим внимание на группировку членов, содержащих cos2a и cos^2(2a):
1/4 - 1 - 1/4 + 2cos2a/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 + cos^2(2a)/4.
Произведем несколько арифметических операций и объединим слагаемые:
-3/4 + 2cos2a/4 + 2cos^2(2a)/4.
Теперь перепишем это выражение в более лаконичной форме:
(2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4.
Заметим, что числитель данного выражения является формулой для cos4a.
Таким образом, левая часть нашего исходного тождества примет следующий вид:
(cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a) = (2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4 = cos4a.
Таким образом, мы доказали тождество cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a = cos4a.
Для того чтобы заменить прямоугольник числом, чтобы равенство стало верным, нужно сначала решить математическое выражение в скобках. Затем, найденный результат делим на 3 и затем результат этого деления умножаем на 15. Наконец, полученный результат должен быть равен 45. Давайте выполним все эти шаги по очереди.
(2021-▭):3)+2):3)⋅15 = 45
1. Внутри скобок мы должны сначала выполнить вычитание 2021 минус прямоугольник. Пусть это число будет иксом (x):
(2021 - x)
2. Далее, мы должны разделить результат (2021 - x) на 3:
(2021 - x)/3
3. Затем результат этого деления (2021 - x)/3 нужно прибавить 2:
((2021 - x)/3) + 2
4. Теперь, полученное значение ((2021 - x)/3) + 2 нужно разделить на 3:
(((2021 - x)/3) + 2)/3
5. После этого, мы должны умножить полученный результат (((2021 - x)/3) + 2)/3 на 15:
15 * (((2021 - x)/3) + 2)/3
6. Наконец, полученный результат должен быть равен 45:
15 * (((2021 - x)/3) + 2)/3 = 45
Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить:
15 * (((2021 - x)/3) + 2)/3 = 45
Для решения данного уравнения необходимо избавиться от всех сложностей в выражении. Для начала упростим выражение внутри скобок:
((2021 - x)/3) + 2 = 45/15
Делаем общий знаменатель у обеих дробей:
((2021 - x)/3) + 2 = 3/1
Теперь умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя в левой части уравнения:
3 * ((2021 - x)/3) + 3 * 2 = 3/1 * 3
Упрощаем выражение:
2021 - x + 6 = 9
Вычитаем 6 из обеих частей уравнения:
2021 - x = 3
Далее, вычитаем 2021 из обеих частей:
-x = 3 - 2021
Вычитаем 3 и 2021:
-x = -2018
Чтобы избавиться от знака минус перед "x", умножим обе части уравнения на -1:
(-1) * (x) = (-1) * (-2018)
Получаем:
x = 2018
Таким образом, прямоугольник в изначальном уравнении должен быть заменен числом 2018, чтобы равенство стало верным:
(2021 - 2018)/3 + 2/3 * 15 = 45
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
