В математике, решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).
Например, уравнение {\displaystyle x+y=2x-1}{\displaystyle x+y=2x-1} решается для неизвестного {\displaystyle x}x с замены {\displaystyle x=y+1,}{\displaystyle x=y+1,} так как замена переменной {\displaystyle x}x на выражение {\displaystyle y+1}{\displaystyle y+1} превращает уравнение в тождество: {\displaystyle (y+1)+y=2(y+1)-1.}{\displaystyle (y+1)+y=2(y+1)-1.} Кроме того, если положить неизвестной переменную {\displaystyle y,}{\displaystyle y,} тогда уравнение решается с замены {\displaystyle y=x-1}{\displaystyle y=x-1}. Замена переменной {\displaystyle y}y на выражение {\displaystyle x-1}{\displaystyle x-1} превращает уравнение в тождество: {\displaystyle x+(x-1)=2x-1.}{\displaystyle x+(x-1)=2x-1.} Также {\displaystyle x}x и {\displaystyle y}y могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например, {\displaystyle (x,y)=(1,0)}{\displaystyle (x,y)=(1,0)} — то есть {\displaystyle x=1}x=1 и {\displaystyle y=0,}{\displaystyle y=0,} а в общем, {\displaystyle (x,y)=(a+1,{\text{ }}a)}{\displaystyle (x,y)=(a+1,{\text{ }}a)} для всех возможных значений.
