решить

1. Найдите sin 4α, cos 4α, если tg 2α = 8;

2. Найдите sin α, cos α, ctg α, если tg α/2 = 0,2;

3. Найдите sin α, cos α, ctg α, если tg α/2 = - 1,8 и 900 < α/2 < 1350;

4. Найдите cos α + sin α, если tg α/2 = 8;

5. Найдите cos 4 α - sin 4 α, если tg α/2 = 0,2;

6. Что больше: ctg 2α или 2ctg α, где 00 < α < 900, α ≠ 450? При каких значениях α имеет место равенство ctg 2α = 2ctg α?

7. Дано: tg х = -0,75, tg у = 2,4, 900 < х < 1800, 00 < у < 900.

Найдите sin (2х + у); cos (х -2 у).

ответ:

Решение: b/a=5/13;→13b=5a; b=5а/13

1)4а²+3ab-b²= 4а²-b² +3ab=(2a-b)(2a+b) +3ab

подставим вместо b зачение 5а/13

(2а- 5а/13)(2а+ 5а/13)+3а*5а/13=((26а-5а)/13)((26а+5а)/13) - 15а²/13=

=21а*31 а/13*13- 13*15а²/13²=651а²/13²-195а²/13²=456а²/13²

2)4a-5ab+b²=(2a)²-4ab+ b² -ab=(2a-b)²-ab

подставим вместо b зачение 5а/13

(2а- 5а/13)²- 5а²/13=((26а-5а)/13)²- 13*5а²/13²=21²а²/13²-65а²/13=376а²/13²

3)поделим 1) на 2)

456а²/13²:376а²/13²=456а²/13²* 13²/376а²= ( 13²и а² сокращаем)=456/376=(сокращаем на 8)=57/47=

Пусть таких чисел не нашлось.

Заметим, что поскольку есть пара красных чисел с суммой 1 + 2011 = 2012, то число 2012 - 11 = 2001 - красное, иначе была бы пара синих чисел с суммой 11 + 2001 = 2012.

Теперь есть еще и красная пара с суммой 1 + 2001 = 2002, тогда 2002 - 11 =  1991 - тоже красное.

Аналогично, появилась пара красных чисел с суммой 1992, тогда и 1992 - 11 = 1981 обязано быть красным.

Повторив указанный выше процесс ещё 178 раз, получим, что число 201 - красное.

Повторяем написанное выше, но уже с синим числом 20. 1 и 201 - красные, тогда 202 - 20 = 182 - красное. Дальше находим, что красными будут и 1 + 182 - 20 = 163, 144, 125, 106, 87, 68, 49, 30 и 11

Исходя из рассуждения 11 должно быть красным, хотя по условию оно синее. Противоречие, исходное предположение неверно, и такие пары чисел найдутся.