Дана функция у(х)=х²/(х²+2х+3). 1. Найти область определения функции. Функция дробная, знаменатель не может быть равен нулю. х²+2х+3 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=2^2-4*1*3=4-4*3=4-12=-8; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней. Значит, ограничений нет. 2. Исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций). f(-x) = (-x)² + 2*(-x) + 3 = x² - 2x + 3 ≠ f(x) и не равно -f(-x). Значит, функция не чётная и не нечётная. 3. Найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют). Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. 4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты; Наклонных асимптот нет, горизонтальная есть: у = 1 (решение в приложении). 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. Находим производную функции. y' = (2x(x+3))/((x²+2x+3)²) Приравниваем нулю (достаточно числитель). 2х(х+3) = 0. Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -3. Находим знаки производной в полученных промежутках. x = -4 -3 -2 0 1 y' = 8 0 -4 0 8. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. Функция: возрастает на промежутках х ∈ (-∞; -3)∪(0; +∞), убывает на промежутке х ∈ (-3; 0), максимум функции в точке х = -3, минимум х = 0. 6. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба. Для этого находим вторую производную. y'' = (-4x³-18x²+18)/((x²+2x+3)³). Приравняв нулю числитель, находим 3 точки перегиба графика: х= -4,25098, х = -1,16089 и х = 0,911869. 7. Найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график. Ось Ох не пересекается, только есть точка касания х = 0. Ось Оу пересекается при х = 0. Дополнительные точки для построения графика даны в приложении.
