Бесконечно длинных арифметических прогрессий состоящих только из степеней не существует. Докажем это. Пусть есть прогрессия 
, где 
Пусть НОД 
. Перепишем нашу прогрессию так:
, где 
и 
. В этом случае числа 
и 
взаимно просты. По теореме Дирихле, в арифметической прогрессии, у которой разность и первый член взаимно просты, есть бесконечно много простых чисел. Если число 
простое и 
- это степень, тогда очевидно 
. Получается, что число 
делится на бесконечное кол-во простых чисел, а значит 
, и наша последовательность - не прогрессия.
Поэтому, скорее всего имеются в виду прогрессии любой наперед заданной длины. Они как раз существуют. Покажем, как построить такую прогрессию. Будем пытаться сделать прогрессию длины 
такого вида:
т. е. некоторое число 
умножается на натуральный ряд:
Видно, что в этом случае первый член являтся второй степенью. Потребуем также, чтобы 
было 3-ей степенью, 
было 5-ой степенью, и так далее: 
- степень с показателем 
- n-ым простым числом.
Представим число 
в виде
Возьмем 
такие, что
и
если 
(естественно 
). Доказательство того, что такие числа 
существуют сразу следует из китайской теоремы об остатках.
В этом случае для любого натурального 
Из построения 
мы знаем, что все 
кроме 
делятся на 
. Но
Таким образом доказано, что все показатели степеней в разложении 
делятся на 
а это означает, что
Указанным выше можно построить сколь угодно длинную арифметическую прогрессию, состоящую только из степеней.
Задача на логику
Вам нужно договориться, кто ВЫКЛЮЧАЕТ лампу
этот человек будет считать количество людей, побывавших в комнате с лампой
остальные же следуют следующей схеме:
если их впервые приводят в комнату, то они включают лампу, конечно же, если она не горит
в случае, если лампа горит, они ничего не делают и считают, что следующий их раз будет первым (т.е. первым будет именно тот раз, когда они придут и лампа будет выключена)
соответственно, каждый из пяти человек (кроме "выключателя") включит лампу ровно один раз
действия же выключателя просты:
если он заходит в комнату и видит включенную лампу, то он ее выключает и прибавляет к своему счетчику побывавших в комнате 1, если лампа выключена, то он ничего не делает
соответственно, когда у выключателя будут данные, что все 5 его друзей побывали в комнате (т.е. его счетчик будет равен 5), он может смело говорить, что все побывали в комнате.
