Учитель составлял график дежурств на неделю (каждый день, кроме субботы и воскресенья, дежурит один человек). Пятеро детей высказали пожелания, чтобы их дежурства проходили следующим образом:

Петя - в среду или понедельник;

Дима - в среду или четверг;

Коля - во вторник или пятницу;

Денис - в понедельник или пятницу;

Саша - во вторник или четверг.

Сколькими можно составить график дежурств, чтобы выполнить все пожелания?

Разложим левую часть на множители.

Уравнения |x-7|-|x-a|=10a-3 и |x-7|-|x-a|=3a+3 либо имеют одно решение, либо имеют бесконечно много решений, либо вообще решений не имеют. Нас устраивает случай когда каждое из этих уравнений имеет одно решение. Легко понять, что для существования этого единственного решения модули должны раскрываться с разными знаками.
Пусть a>7, тогда, раз модули модули должны раскрыться с разными знаками, x∈[7; a). Разбираемся с первым уравнением, модули раскроются так:
x-7-a+x=10a-3
2x=11a+4
x=(11a+4)/2. Этот x должен принадлежать рассматриваемому промежутку, получаем систему:
{a>7
{7≤(11a+4)/2<a
Решений нет, а значит сразу переходим к случаю a<7 (a=7 можно пропустить, так как такой а, очевидно, нам не подходит)
Нужный промежуток: x∈[a; 7)
Раскрываем модули, преобразовываем и получаем 
x=(10-9a)/2
Решаем систему:
{a<7
{a≤(10-9a)/2<7
Получаем: -4/9<a≤10/11
Переходим ко второму уравнению, раскрываем модули на том же промежутке для a<7 и получаем x=2-2a. Решаем систему:
{a<7
{a≤2-2a<7
Получаем -5/2<a≤2/3. Пересекаем решения и получаем:
-4/9<a≤2/3
Проверь все сам, я мог где то и ошибиться.

ОДЗ:
{x>a
{x>-a
Проведем замену  и получим уравнение
t²-8at+12a²+8a-4=0
D=(4a-4)². Случай когда D=0 (a=1) нам не подходит, отметим это, во всех остальных случаях
t1=6a-2
t2=2a+2
Теперь вернемся к замене


Найдем x из первого уравнения:

Проделав такую же штуку со вторым уравнением получим
x_2=\frac{a(7^{2a+2}+1)}{7^{2a+2}-1}
Нам нужно чтобы оба корня были решениями, то есть чтобы они принадлежали ОДЗ.
Если а<0, то система которую я записал в самом начале равносильна неравенству x>-a
Нам нужно чтобы оба корня принадлежали одз одновременно
Решаем систему:
{a<0
{x₁>-a
{x₂>-a
В этом случае получаем a<-1.
Пусть теперь а>0, тогда система будет такая
{a>0
{x₁>a
{x₂>a
Получаем а>1/3. Вспоминаем что a≠1 и объединяем решения.
ответ: a∈(-oo; -1)∪(1/3; 1)∪(1;+oo)