Найти наибольшее и наименьшее значение функции 3 2 11 ()= + +3− напромежутке[2;4]

Рассмотрим периодичность остатков от деления на 7 двух выражений: 2^n и n^2.
Для 2^n:
При n=1: 2^1≡2(mod 7)
При n=2: 2^2≡4(mod 7)
При n=3: 2^3≡8≡1(mod 7)
При n=4: (2^3)*2≡1*2≡2(mod 7) - начался новый период
Таким образом, длина периода равна 3.
Для n^2:
При n=1: 1^2≡1(mod 7)
При n=2: 2^2≡4(mod 7)
При n=3: 3^2≡9≡2(mod 7)
При n=4: 4^2≡16≡2(mod 7)
При n=5: 5^2≡25≡4(mod 7)
При n=6: 6^2≡36≡1(mod 7)
При n=7: 7^2≡0^2≡0(mod 7)
Если представить число n как 7k+a, где a - некоторое неотрицательное целое число из промежутка [0;6], то (7k+a)^2≡49k^2+14ak+a^2≡a^2(mod 7). Это значит, что число (7k+a)^2 имеет такой же остаток от деления на 7, что и число a^2. Таким образом, при n=8 остаток от деления на 7 будет таким же, каков и остаток от деления на 7 числа 1. Для n=9 остаток такой же, как при n=2. Это значит, что длина периода остатков n^2 на 7 равна 7. Определим общую длину периода остатков от деления на 7 чисел 2^n и n^2. Это и будет как раз длиной периода остатков разности 2^n-n^2. НОК(3,7)=21.
Это означает, что остаток от деления на 7 числа 2^1-1^2 совпадает с остатком от деления на 7 числа 2^22-22^2. И т.д.
Зачем это все было расписано? Число 2^n-n^2 делится нацело на 7, если остаток от деления на 7 этого выражения равен 0. Суть в том, чтобы посчитать количество нулевых остатков внутри одного периода, длина которого 21, затем умножить это на количество периодов, а затем добавить число нулевых остатков у оставшегося неполного периода, чтобы добрать до 10000.
Итак, количество периодов равно [10000/21]=476.
10000-476*21=4 - число остатков, которые надо будет добрать.
Рассмотрим полностью весь период остатков. В первой колонке выпишем номера n, во второй колонке - остатки от деления на 7 выражения 2^n, в третьей колонке - остатки от деления на 7 числа n^2.
n2^nn^2
121
244
312
422
544
611
720
841
914
1022
1142
1214
1321
1440
1511
1624
1742
1812
1924
2041
2110
Среди этих остатков равными являются те, которые соответствуют таким n:
2,4,5,6,10,15. 
Таким образом, среди первых 9996 n количество чисел вида 2^n-n^2, делящихся нацело на 7, равно 476*6=2856.
n=9997,9998,9999,10000 соответствуют n=1,2,3,4. Среди них равные остатки получаются при n=2,4. То есть к итоговому результату надо прибавить 2. В итоге получим 2856+2=2858.
ответ: 2858.

а) 4) объём V=a³=6³=216 м³, полная поверхность S=6*а²=6*36=216 м², длина всех рёбер L=12*a=12*6=72 м.

5) V=8³=512 км³, S=6*64=384 км², L=8*12=96 км

6) V=6,5³=274,625 м³, S=6*6,5=253,5 м², L=6,5*12=78 м

7)  V=1,5³=3,375 км³, S=6*2,25=13,5 км², L=1,5*12=18 км

б)  1) При такой площади длина ребра равна L=√1=1 cм, откуда V=1³=1 см³, S=6*1²=6 см², L=1*12=12 см

2) L=2 м⇒V=2³=8 м³, S=6*2²=24 м², L=2*12=24 м

3) L=3 дм⇒V=3³=27 дм³, S=6*3²=54 дм², L=3*12=36 дм

4) L=5 км⇒V=5³=125 км³, S=6*5²=150 км², L=5*12=60 км

5) L=100 м⇒V=100³=10⁶ м³, S=6*100²=6*10⁴ м², L=100*12=1200 м

6) L=10 м⇒V=10³=1000 м³, S=6*10²=600 м², L=10*12=120 м