Поскольку 
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1
Где-то в далекой вселенной Математики было две планеты: Геометрия и Алгебра. Где-то в маленьком городке жила необычная фигура. У нее было три точки, соединенных между собой. Но она не имела названия, безымянная фигура. Тогда ее друзья (квадрат, круг, пятиугольник) решили ей. Они собрались вместе и стали придумывать имя для такой необычной фигуры.
-Триточечник? - предложил круг.
-Нет.
-Тре...
-Угольник, - дополнила фигура с пятью углами.
-А мне нравится!
С тех самых пор треугольник не является безымянной фигурой.
__
Подойдет? Не поняла про какую историю с треугольником надо.
