Чи існує ціле число, яке належить проміжку:

(−1;0)?

Відповідь:

ціле число

​

Даны точки A(-4;-4;3), B(-2;-1;1), C(2;-2;-1), D(-1;3;-2).

Определим уравнение плоскости через точки А, В и С.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-4) y - (-4) z - 3

(-2) - (-4) (-1) - (-4) 1 - 3

2 - (-4) (-2) - (-4) (-1) - 3

 = 0

x - (-4) y - (-4) z - 3

2 3 -2

6 2 -4

 = 0

x - (-4)  3·(-4)-(-2)·2  -  y - (-4)  2·(-4)-(-2)·6  +  z - 3  2·2-3·6  = 0

(-8) x - (-4)  + (-4) y - (-4)  + (-14) z - 3  = 0

 - 8x - 4y - 14z - 6 = 0

4x + 2y + 7z + 3 = 0 .

Подставим координаты точки D в уравнение плоскости АВС.

4*(-1) + 2*3 + 7*(-2) + 3 = -4 + 6 - 14 + 3 = -9.

Не равно нулю, значит, точка D не принадлежит плоскости АВС.

ответ: точки A,B,C и D - это вершины тетраэдра.

В 1120 году Юрий возглавил поход русских войск против волжских булгар. В походе также участвовали половцы.В 1125 году правивший в Ростове князь Юрий Долгорукий, перенёс столицу своих владений в город Суздаль, а его наследник-сын Андрей Боголюбский — в 1157 году во Владимир. С тех пор политическая роль Ростова заметно уменьшилась.Когда в 1132 году перешедший по смерти Мстислава Великого Ярополк Владимирович отдал Переяславское княжество Всеволоду Мстиславичу, Юрий выгнал последнего оттуда. Тогда Ярополк посадил в Переяславле Изяслава Мстиславича, но Юрий воспротивился и такому варианту. Затем из Турова Изяслав был изгнан Вячеславом Владимировичем, после чего уехал в Новгород, откуда с братом Всеволодом организовал поход в Ростово-Суздальское княжество (1134). В битве при Жданой горе обе стороны понесли значительные потери, но не добились решающего успеха. В 1135 году Переяславль был отдан Ярополком Юрию в обмен на центральную часть его княжества с Ростовом и Суздалем. Однако, выступление коалиции Мстиславичей и Ольговичей против Ярополка привело к тому, что Юрий вернулся в Ростов, в Переяславль был переведён Андрей Владимирович Добрый, а на Волыни сел Изяслав Мстиславич.После смерти Ярополка и изгнания Вячеслава из Киева Всеволодом Ольговичем (1139) активность Юрия свелась к неудачной попытке поднять новгородцев в поход на юг.В период своего первого киевского княжения (1149—1151) оставил в Суздале сына Василька, во время последнего киевского княжения (1155—1157) сохранил Ростово-Суздальскую землю за собой лично, планируя оставить её после своей смерти своим младшим сыновьям Михаилу и Всеволоду, а старших утвердить на юге. Но вскоре из Вышгорода на северо-восток вернулся его старший на тот момент сын Андрей, а после смерти Юрия перенёс столицу княжества во Владимир-на-Клязьме. .