1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : .
Определение. Частной производной функции по переменной в точке называют предел
,
если он существует.
Частную производную по обозначают одним из следующих символов:
.
Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.
Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции .
Имеем:
, . ^
2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
,
называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения
,
– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.
Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:
=.
Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .
1) при n=1:
левая часть: это первый член суммы, т.е.2
правая часть: 1*(2*1^2+9+1)/6 = 12/6=2
2=2 , т.е. равенство выполняется
2) предполагаем, что 2+7+14+...+(n^2+2n+1)=n(2n^2+9n+1)/6
3) проверяем верность этого равенства для (n+1):
для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:
2+7+14++(n^2+2n-1)+((n+1)^2+2(n+1)-1) = т.к. мы предположили п.2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т.е. на "правую" часть из п.2 и прибавляю последнее слагаемое = n(2n^2+9n+1)/6 + ( (n+1)^2 + 2(n+1)-1) = (2n^3+9n^2+n)/6+(n^2+2n+1+2n+2-1) = (2n^3+9n^2+n)/6 + (n^2+4n+2) = приводим к общему знаменателю: =
=(2n^3+9n^2+n+6n^2+24n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6
Теперь займёмся правой частью для (n+1):
((n+1)(2(n+1)^2+9(n+1)+1)/6 = ((n+1)(2n^2+4n+2+9n+9+1))/6 = ((n+1)* (2n^2+13n+12))/6 = (2n^3+13n^2+12n+2n^2+13n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6
пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т.е. утверждение доказано методом математической индукции.
