На книжковій полиці стояло в 1,5 разу більше книжок, ніж на іншій. Після того як з першої полиці на другу переставили 4 книжки, книжок на полицях стало порівну. Скільки книжок стало на кожній полиці ?

Все отношения между числами симметричные, т.е. если взаимно поменять местами, скажем, и то ничего не изменится, всё будет работать как прежде.

Значит, мы можем переставить все числа, так,
чтобы оказалось, что

Введём новые переменные

И будем искать такие комбинации чтобы


и


Начнём с первого требования, оно эквивалентно утверждению, что:

;

;

При правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно.

Значит, ;

Теперь подставим вместо его значение и будем искать такие комбинации чтобы:

– теперь всегда будет выполняться с
и


Проанализируем второе требование, оно эквивалентно утверждению, что:

;

;

При правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно.

При но это не подходит по условию.

Значит, ;

Теперь подставим вместо его значение и будем искать такие комбинации чтобы:

– теперь всегда будет выполняться с
– теперь всегда будет выполняться с


Проанализируем последнее требование, оно эквивалентно утверждению, что:

;

;

;

;

;

Сумма всей комбинации – это:



максимум которой достигается при минимальном значении

в знаменателе дроби т.е. при

Тогда сумма всей комбинации

;

О т в в е т : 59 .

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим сначала первое неравенство системы:

Видно, что левая его часть должна быть положительна. В свою очередь числитель дроби положителен. Это означает, что неравенство может быть верным только, если .

Тогда при домножении левой и правой частей неравенства на его знак сохранится.

Получим эквивалентную систему:

Преобразуем ее до более удобного вида:

(данного результата можно было добиться также и приведением дроби к общему знаменателю; рассматриванием двух случаев; исключением одного)

Построим решения всех неравенств записанной выше системы в координатах (x; a):

(см. прикрепленный файл | выделено синим)

Рассмотрим вторую строку системы:

Преобразуем ее:

Приведем систему к более удобному виду:

Построим решения всех неравенств записанной выше фразы в координатах (x; a):

(см. прикрепленный файл | выделено фиолетовым)

Будем двигать горизонтальную прямую до тех пор, пока не добьемся требуемого результата.

(см. прикрепленный файл | выделено оранжевым)

Тогда понятно, что достаточно решить систему:

Откуда следует, что при исходная система неравенств имеет единственное решение .

Задание выполнено!