Удвух игроков в начале игры есть пустая таблица 2019×2019. ходят по очереди. за ход нужно записать в одну из пустых клеток таблицы произвольное натуральное число. когда таблица заполнена, подсчитываются все 4038 сумм чисел в ее строках и столбцах. если среди этих сумм есть хотя бы 1000 делящихся на 2019, то победил тот, кто ходил первым, иначе — его соперник. кто победит при правильной игре?

Можно.
(1111 - 111) + (111 - 11) + (111 - 11) + (111 - 11) + (111 - 11) + (111 - 11) +
+ (111 - 11) + (111 - 11) + (111 - 11) + (111 - 11) + (111 - 11) = 2000
Скобки можно убрать, я их поставил только для удобства чтения примера.
1-ая скобка равна 1000, дальше 10 скобок по 100.
Всего на это ушло 7 + 10*5 = 57 единиц. Остается 99 - 57 = 42 единицы,
которые можно разбить на 21 пару (1 - 1) = 0.
Результат не изменится и будет по-прежнему равен 2000.
ответ: (1111-111) + (111-11) (повтор 10 раз) + (1-1) (21 раз) = 2000

1) наполняем большое ведро полностью,т.е в нем будет 10л.
2) перельем из большого  в маленькое,т.е в маленьком будет 6л,  в большом 4л.
3) выливаем всю воду из маленького,т.е. в большом ведре так и остается 4л, а в маленькое будет пустое
4) переливаем из большого в маленькое всю воду,получается в маленьком 4л,а большое пустое ведро.
5) наполним большое ведро полностью,получается в большом ведре 10л,а в маленьком 4л
6) отливаем из большого в маленькое столько,чтобы ведро стало полное,т.е 2л. Получается в большом ведре 8л,а в маленьком 6л.