1) задан конечный набор единичных квадратов, стороны которых покрашены в некоторые цвета (конечное число). спрашивается, можно ли замостить всю координатную плоскость квадратами заданных типов так, чтобы все квадраты соседствовали по сторонам одного цвета? 2) задан конечный набор матриц одного порядка с целыми ко- эффициентами. спрашивается, можно ли выразить нулевую матрицу как произведение матриц из указанного набора (матрицы в произведение могут входить в любом порядке). 3) дан многочлен p(x1, . xn) от нескольких переменных с целыми коэффициентами. спрашивается, есть у него целочисленное решение, т. е. такой набор целых чисел a1, . an, что p(a1, . an) = 0? 4) докажите, что достижимости для неориентированных графов, заданных правилами подстановки, алгоритмически неразрешима.

 а) F'(x)=3*x^2+8*x-5+0 
Так как (x^3)'=3*x^2, (x^2)'=2*x, (x)'=1, (C)'=0, то F'(x)=f(x) 
б) F'(x)=3*4*x^3-1/x=12*x^3-1/x 
Так как (x^4)'=4*x^3, (ln x)'=1/x, то F'(x)=f(x) 

2) a) F(x)=-x^(-2)+sin x, (x^(-2))'=-2*x^(-2-1)=-2*x^-3=-2/x^3, (sin x)'=cos x и f(x)=2/x^3+cos x 
След. F'(x)=f(x) 
б) F(x)=3*e^x 
Так как (3*e^x)'=3*(e^x)'=3*e^x и f(x)=3*e^x, то F'(x)=f(x) 

3) F(x)=x^3+2x^2+C, 
т. к. (x^3)'=3x^2 
(2x^2)'=2*2x=4x 
C'=0 

1. f(x)=3x^2+4x 
След. , F'(x)=f(x) 
2. Т. к. график первообразной проходит через A(1;5), то 5=1^3+2*1+C - верное равенство 
5=3+С 
С=2 

ответ: F(x)=x^3+2x^2+2 

4) у=x^2 
у=9 
x^2=9 
х1=-3 
х2=3 
Границы интегрирования: -3 и 3 
Чертим на коорд. пл. графики функ. у=x^2 и у=9, опускаем проекции из точек пересеч. графиков на ось х 
Полученный прямоугольник обозначаем как ABCD, площадь которого равна 9*(3+3)=54 
S (OCD)= ∫ от 0 до 3 x^2 dx = 1/3*3^3-1/3*0=9 
Т. к. S (ABO) = S (OCD), то S(иск) =54-2*9=36 

В пятом условии для решения не хватает функции, график которой бы "замыкал" указанные параболы на коор. плоскости.

Дробь  несократимая , значит  ее  числитель и знаменатель взаимно простые числа.
Знаменатели  меньше    77  ⇒  разложим число 77 на множители:
 77 = 7 × 11    ⇒    знаменатели дробей 7 и 11.
Пусть числитель первой дроби  х , второй дроби у. 

х/7  +   у/11  = 58/77
(11х+7у)/ 77  = 58/77
11х +7у = 58
Следовательно сумма числителей( c одинаковыми знаменателями)
этих дробей  = 58 .

Если нужна просто сумма (х+у) , то возникает проблема - уравнение одно, а переменных две. ⇒ Метод подбора.
Выразим из уравнения у :
у=  (58 - 11х )/7
Учтем:
х < 7 , у < 11 , если дроби правильные 
х , у ∈ N  -  натуральные числа
при х = 1       ⇒  у = (58-11*1)/7  = 47/7  - не является натуральным числом
при х = 2       ⇒  у= (58 -11*2)/7 = 36/7    -∉N
при х = 3       ⇒  у = (58 - 33)/7  = 25/7    - ∉N
при х = 4       ⇒  у= (58 - 44) /7 = 14/7 = 2    удовл. условию ⇒  х+у= 4+2 = 6
при х= 5        ⇒ у= (58-55)/7= 3/7    - ∉N
при  х = 6      ⇒  у=  (58-66)/7 = -8   - ∉N