Cos 6°= выбери верное соотношение

Решение.

1. Найдем производную функции f(x).

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1.

2. Производная функции f(x) существует на всем числовом интервале.

3. Найдем стационарные точки функции f(x). Решим уравнение.

3x^2 - 4x + 1 = 0;

D = 16 - 12 = 4.

Уравнение имеет 2 корня х = 1/3 и х = 1.

4. Функция f(x) имеет 2 критические точки х = 1/3 и х = 1.

5. Исследуем критические точки на максимум и минимум.

Найдем вторую производную функции f(x).

f''(x) = 6x - 4.

f''(1/3) = 6 * 1/3 - 4 = -2 < 0. x = 1/3 - точка максимума.

f''(1) = 6 * 1 - 4 = 2 > 0. х = 1 - точка минимума.

ответ. Функция имеет 2 критические точки. х = 1/3 - точка максимума, х = 1 - точка минимума.

Дано: ;
Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .

D(f) ≡ R \ {0} ≡ ;

2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:

;

Найдём первую производную функции y(x) :

;

;

При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.

3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:

;

Если приравнять функцию к нолю, получим:

;

;

;

– что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;

Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.

4. Найдем асимптоты y(x).

По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .

Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± :

;

Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;

Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.

5. Первая производная функции y(x) :

– положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;

Значит, функция возрастает на и убывает на ;

Уравнение т.е. – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов.

6. Найдём вторую производную функции y(x) :

;

при любых значениях аргумента ;

В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.

Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.

7.

При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;

При х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ;

При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;

Строим график: