6. ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро якого дорівнює 1. Відомо, що 0
–
 
 
AD a . Який із наведених векторів

може дорівнювати вектору

a ?

А.
––
B1D1
. Б.
––
C1B1
. В.
––
BB1
. Г.
––
BC

Довести: 16¹⁶ - 14¹⁴ кратне 10.

Доведення
При піднесенні числа до степеня, нас цікавить лише його остання цифра.
(...6)¹ = ...6
(...6)² = ...6
(...6)³ = ...6
(...6)⁴ = ...6 і так далі. Отже, 16¹⁶ = ...6

(...4)¹ = ...4
(...4)² = ...4 · ...4 = ...6
(...4)³ = ...6 · ...4 = ...4
(...4)⁴ = ...4 · ...4 = ...6 і так далі.
Тобто, при піднесенні до непарного показника маємо число, що закінчується цифрою 4, а при піднесенні до парного показника - із цифрою 6 у кінці. Число 14 - парне. Отже, 14¹⁴ = ...6

16¹⁶ - 14¹⁴ = ...6 - ...6 = 0

Вираз рівний числу, що закінчується цифрою "0". Тобто, ділиться націло на 10.
Доведено.

1) первой цифрой не может быть 0. Остальные цифры — любые из трёх. ответ:2*3*3*3*3 = 162

2) надо решить систему уравнений:

{ 4a + 6b = 46, a + b = 9 }

a и b — кол-во четырёх- и шестиместных лодок соответственно.

Найти b.

b = 9 - a.

4a + 6(9 - a) = 46

a = 4

b = 5.

ответ: 5 шестиместных лодок.

3) ответом служит A(4, 3) (количество размещений из 4 по 3) = 4!/(4 - 3)! = 24.

4) ответ: C(5, 3) + C(6, 3) + C(7, 3) = 10 + 20 + 35 = 65, где C(n, k) — количество сочетаний из n по k = n! / (k! * (n - k)!)

5) Бесконечное количество. Все они имеют вид:

x = 7n, y = 5n, где n — любое целое число.

6) Пусть x — наше число, y — частное.

{ x = 15 * y, x = 13 * y + 12 }

15y = 13y + 12

y = 6

x = 15 * 6 = 90.

ответ: 90.

7) 8x + 9 = 11 + 4y

y = 2x - 1/2. Как видно из уравнения, решений в целых числах не существуют.