Если бы каждый из двух множителей увеличили на 3, их произведение увеличилось бы на 48. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на решить

1) Найти области определения и значений данной функции f.

Для аргумента и функции нет ограничений: их значения - вся числовая ось.

2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной:

f(-x)=(-x)³−1 = -x³−1 = -(x³+1). Значит, функция не чётная и не нечётная.

б) не периодическая.

3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат:

- пересечение с осью Оу (х = 0), у = -1.

- пересечение с осью Ох (у = 0), x³−1 = 0, x³ = 1, x = ∛1 = 1.

4) Найти промежутки знакопостоянства функции f.

На основе нулей функции имеем:

- функция отрицательна при х < 1 (x ∈ (-∞; 1),

- функция положительна при х > 1 (x ∈ (1; +∞).

5) на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точка.

Находим производную функции и приравниваем нулю.

y' = 3x² = 0, x = 0 это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее этой точки. Так как переменная в квадрате, то знак её положителен. Значит, функция на всей области определения возрастает.

Поэтому не имеет ни минимума, ни максимума.

6) Вторая производная y'' = 6x. Поэтому в точке х = 0 функция имеет перегиб. При x < 0 график функции выпуклый, при x > 0 вогнутый.

7) Асимптот функция не имеет.

Дана функция: f(x)=x³−1.
1.Область определения и значений данной функции f: ограничений нет - x ∈ R.
2.Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: 
а) четной или нечетной: f(-x) = -x³−1 ≠ f(x).
                                         f(-x) = -(x³+1) ≠ -f(x).
Значит, функция не чётная и не нечётная.
б) периодической: функция не периодическая.
3.Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
С осью Оу при х =0: у = 0³ - 1 = -1.
С осью Ох при у = 0: 0 = х³ - 1,  х³ = 1,  х = ∛1 = 1.
4.Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Находим производную: y' = 3x².
Так как производная положительна на всей области определения, то функция только возрастающая.
5.Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает: в соответствии с пунктом 4 функция возрастает от -∞ до +∞.
6.Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.
Приравниваем производную нулю; 3х² = 0, х = 0.
Имеем 2 промежутка монотонности функции
На промежутках находят знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Производная y' = 3x² только положительна.
Так как производная не имеет промежутков смены знака, значит, функция не имеет ни минимума, ни максимума.
7.Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента: таких точек нет.