ответ: e².
Пошаговое объяснение:
1) Положим x-2=t⇒x=t+2 и при x⇒2 t⇒0. Тогда данное выражение примет вид: e²*(e^t-1)/t и требуется найти предел этого выражения при t⇒0. Так как предел e² равен e², то искомый предел равен e²*lim[(e^t-1)/t при t⇒0.
2) Положим e^t-1=z⇒t=ln(z+1) и при t⇒0 z⇒0. Тогда данный предел можно записать так: e²*lim[z/ln(z+1)]=e²/lim[ln(z+1)/z]. Обозначим A=lim[ln(z+1)/z] и рассмотрим B=e^A=lim{e^[ln(z+1)/z]}=lim[(z+1)^(1/z)]. Но предел в скобках [ ] есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e. Из равенства B=e^A=e находим A=1. Тогда искомый предел равен e²/A=e².
1. Пусть 
, 
. Заметим, что 
и 
монотонно убывают, значит, 
функция монотонная, следовательно, имеет не более одного корня. Из этого следует, что у уравнения 
не более двух корней.
2. Заметим, что если 
является решением, то 
тоже. Очевидно, что 
является осью симметрии (причем единственной) графика 
. Иначе говоря, пара 
исчерпывает все решения указанного уравнения, если таковые имеются. Значит, достаточно потребовать, чтобы 
. Итак, 
пробегает область значения рассматриваемой функции, кроме того 
, которому соответствует (это 
).
3. Функция непрерывна, поэтому достаточно посмотреть на наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее значение достигается в 0 (то есть значение 
, а наибольшее в . Получаем ответ: 
