Поскольку 
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1
X - цена пряника
Y -- цена конфеты
составим систему уравнений.
2X + Y = 10
2Y + X = 11
выразим Y через X : Y =( 10 - 2X ) и подставим это выражение во второе уравнение
тогда : 2( 10 - 2X ) + X = 11
Решаем уравнение 20 - 4X + X =11
4X-X = 20-11
3X = 9
X=3 цена пряника 3 руб
Подставляем в другое уравнение:
2Y + 3 = 11
2Y = 11 - 3
2Y = 8
Y= 4 цена конфеты 4 рубля.
