Усі бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60°. Площа повної поверхні піраміди дорівнює 54√6 . см². Обчисліть площу (у см²) перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через висоту піраміди й діагональ її основи.

Лемма ученика 57 школы: 1+2+4+8+...+2^n= 2^(n+1)-1

Докажем по индукции:

База:

1 = 2-1

1+2 = 3 = 4-1

Шаг:

пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1

тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1

ч.т.д.

Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.

Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1

Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.

Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98,  и т.д.

Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.

По лемме ученика 57 школы 1+2++2^100= 2^101-1

а 2^101 монет быть не может.

ответ:2^101-1

К лику святых заступников Церкви отеческой причтен и сей князь Новгород­ский Мстислав, внук великого князя киевского Мстислава и сын смо­ленского князя Ростислава. Князь Мстислав заслужил у современников имя Храброго, кото­рое сохранилось ему в летописях по своему мужеству в битвах и по особенному благородству характера, так как он всегда принимал правую сторону, когда возни­кали несогласия князей, и вступался за слабого против сильного, невзирая на множество врагов. В Церкви же усвоилось ему утешительное название святого по глубокому его благочестию и делам милосер­дия, которые не уступали подвигам его воинской доблести.