Задание 1.Найдите область определения функций. A) y=4/√x²-4x+3 Б) y=1/18^√x²-x-6 Задание
2. Упростить. А) 4 в степени 1 четвёртая *4 в в той же степени Б) (16 в степени 1 четвёртая) в степени 8
Задание 3. Вычислите А) log↓3 1/2 + log↓3 18 Б)log↓3 36 – log↓3 4. Задание 4. Найдите значение выражения Б) 8*8 в степени ㏒↓8 6 Задание 5. Найдите корень уравнения А) log↓3 (4+x)=5 Б) log↓3 (10-x)=log↓3 5
Задание 11. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: А) y=2x³-3x²-36x+40 Б) y=3x в степени 4-6x² Задание
12. Исследуйте функцию с производной и постройте эскиз график А) y=2x³-3x²+x+5 Б) y=x³/3-3x²
Задание 13 Найдите интеграл ∫(4x³-3x²)dx Б) ∫(2sin x+3cos x)dx

Задание 1:
А) y=4/√x²-4x+3
Чтобы найти область определения функции, нужно определить значения переменной x, при которых функция имеет смысл. Заметим, что знаменатель под корнем не может быть равен нулю, так как корень квадратный из нуля не определён. Следовательно, x²-4x+3 ≠ 0. Решим это квадратное неравенство:

x²-4x+3 ≠ 0

Квадратное неравенство можно решить, представив его в виде (x-1)(x-3) ≠ 0. Найдём значения x:

x-1 ≠ 0
x ≠ 1

x-3 ≠ 0
x ≠ 3

Таким образом, область определения функции A) y=4/√x²-4x+3 состоит из всех действительных чисел, кроме 1 и 3.

Б) y=1/18^√x²-x-6
Для определения области определения этой функции нужно учесть два фактора. Во-первых, знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. В данном случае знаменатель равен 18^√x²-x-6, поэтому нужно найти значения x, при которых 18^√x²-x-6 ≠ 0.

Во-вторых, внутри корня (√x²-x-6) не может быть отрицательного значения, так как корень квадратный из отрицательного числа не определён. Найдём значения x, при которых √x²-x-6 ≥ 0:

x²-x-6 ≥ 0

On x²-x-6 = (x-3)(x+2) ≥ 0
Найдём значения x:

x-3 ≥ 0
x ≥ 3

x+2 ≥ 0
x ≥ -2

Теперь найдём значения x, при которых знаменатель 18^√x²-x-6 ≠ 0:

18^√x²-x-6 ≠ 0

Так как 18^√x²-x-6 всегда положительно для любого x, zаменяющего неравенство на равенство и решая его, мы находим два значения x: x = 3 и x = -2.

Таким образом, область определения функции B) y=1/18^√x²-x-6 состоит из всех действительных чисел, кроме 3 и -2.

Задание 2:
А) 4 в степени 1/4 * 4 в той же степени.
Для упрощения данного выражения умножим числа с одинаковым основанием, при этом складывая показатели степени:

4^(1/4) * 4^(1/4) = 4^(1/4+1/4) = 4^(1/2) = √4 = 2

Таким образом, выражение упрощается до 2.

Б) (16 в степени 1/4) в степени 8.
Аналогично, умножим числа с одинаковым основанием, при этом умножая показатели степени:

(16^(1/4))^8 = 16^(1/4*8) = 16^2 = 256

Таким образом, выражение упрощается до 256.

Задание 3:
А) log₃(1/2) + log₃(18)
Сначала вычислим каждое слагаемое отдельно:

log₃(1/2) = log₃(3^-1) = -1

log₃(18) = log₃(3^2 * 2) = log₃(3^2) + log₃(2) = 2 + log₃(2)

Теперь сложим полученные значения:

-1 + 2 + log₃(2) = 1 + log₃(2)

Таким образом, значение этого выражения равно 1 + log₃(2).

Б) log₃(36) - log₃(4).
Снова вычислим каждое слагаемое отдельно:

log₃(36) = log₃(3^2 * 4) = log₃(3^2) + log₃(4) = 2 + log₃(4)

log₃(4) = log₃(3^1 * 4) = log₃(3^1) + log₃(4) = 1 + log₃(4)

Теперь вычтем полученные значения:

2 + log₃(4) - (1 + log₃(4)) = 1

Таким образом, значение этого выражения равно 1.

Задание 4:
Б) 8*8 в степени ㏉₈(6)
Сначала вычислим значение логарифма:

㏉₈(6) ≈ 1.260
Теперь вычислим значение выражения:

8*8^(㏉₈(6)) = 8 * 8^1.260 ≈ 8 * 15.630 = 125.04

Таким образом, значение выражения равно примерно 125.04.

Задание 5:
А) log₃(4+x) = 5
Для решения этого уравнения нужно использовать свойство логарифма:

logₐ(b) = c означает, что a^c = b.

Применив это свойство, получаем:

3^5 = 4 + x.

Вычислим значение 3^5:

3^5 = 243.

Теперь решим уравнение:

243 = 4 + x.

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

243 - 4 = x.

Таким образом, решение уравнения равно x = 239.

Б) log₃(10-x) = log₃(5)
Для решения этого уравнения нужно использовать свойство логарифма:

logₐ(b) = c означает, что a^c = b.

Применив это свойство, получаем:

3^log₃(10-x) = 3^log₃(5).

Сокращаем основание логарифма с обеих сторон уравнения:

10-x = 5.

Теперь решим уравнение:

10 - x = 5.

Вычтем 10 из обеих частей уравнения:

- x = -5.

И помним, что -(-5) = 5.

Таким образом, решение уравнения равно x = 5.

Задание 11:
А) y=2x³-3x²-36x+40
Для определения промежутков возрастания и убывания этой функции нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Затем, используя полученные значения, анализируем поведение функции.

Для начала найдём производную функции:

y' = 6x² - 6x - 36.

Теперь решим уравнение y' = 0:

6x² - 6x - 36 = 0.

Мы можем сократить это уравнение на 6:

x² - x - 6 = 0.

Факторизуем квадратное уравнение:

(x-3)(x+2) = 0.

Найдём значения x:

x-3 = 0
x = 3

x+2 = 0
x = -2

Мы нашли две критические точки, x = 3 и x = -2. Теперь анализируем поведение функции:

1) Если x < -2, то y' > 0, значит функция возрастает.
2) Если -2 < x < 3, то y' < 0, значит функция убывает.
3) Если x > 3, то y' > 0, значит функция возрастает.

Таким образом, промежутки возрастания функции: (-∞, -2) и (3, +∞), промежуток убывания функции: (-2, 3).

Б) y=3x в степени 4-6x²
Для определения промежутков возрастания и убывания этой функции, сначала найдём производную функции:

y' = 12x³ - 12x.

Теперь решим уравнение y' = 0:

12x³ - 12x = 0.

Мы можем сократить это уравнение на 12x:

x² - x = 0.

Факторизуем квадратное уравнение:

x(x-1) = 0.

Найдём значения x:

x = 0

x - 1 = 0
x = 1

Мы нашли две критические точки, x = 0 и x = 1. Теперь анализируем поведение функции:

1) Если x < 0, то y' > 0, значит функция возрастает.
2) Если 0 < x < 1, то y' < 0, значит функция убывает.
3) Если x > 1, то y' > 0, значит функция возрастает.

Таким образом, промежутки возрастания функции: (-∞, 0) и (1, +∞), промежуток убывания функции: (0, 1).

Задание 12:
А) y=2x³-3x²+x+5
Для исследования функции с помощью производной, мы должны проанализировать значения производной и поведение функции в критических точках.

Сначала найдём производную функции:

y' = 6x² - 6x + 1.

Теперь решим уравнение y' = 0:

6x² - 6x + 1 = 0.

Для решения этого уравнения, можно использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта. Мы получим следующие значения x в виде десятичных дробей:

x ≈ 0.4226 и x ≈ 1.5774.

Мы нашли две критические точки, x ≈ 0.4226 и x ≈ 1.5774. Теперь анализируем поведение функции:

1) Если x < 0.4226, то y' > 0, значит функция возрастает.
2) Если 0.4226 < x < 1.5774, то y' < 0, значит функция убывает.
3) Если x > 1.5774, то y' > 0, значит функция возрастает.

Таким образом, промежутки возрастания функции: (-∞, 0.4226) и (1.5774, +∞), промежуток убывания функции: (0.4226, 1.5774).

Для построения эскиза графика функции, мы можем использовать эти результаты и значения функции в критических точках.

Б) y=x³/3-3x².
Для исследования функции с помощью производной, мы должны проанализировать значения производной и поведение функции в критических точках.

Сначала найдём производную функции:

y' = x² - 6x.

Теперь решим уравнение y' = 0:

x² - 6x = 0.

Факторизуем квадратное уравнение:

x(x - 6) = 0.

Найдём значения x:

x = 0

x - 6 = 0
x = 6

Мы нашли две критические точки, x = 0 и x = 6. Теперь анализируем поведение функции:

1) Если x < 0, то y' < 0, значит функция убывает.
2) Если 0 < x < 6, то y' > 0, значит функция возрастает.
3) Если x > 6, то y' > 0, значит функция возрастает.

Таким образом, промежутки возрастания функции: (0, 6) и промежуток убывания функции: (-∞, 0).

Для построения эскиза графика функции, мы можем использовать эти результаты и значения функции в критических точках.

Задание 13:
А) ∫(4x³-3x²)dx
Чтобы найти интеграл данной функции, нужно найти антипроизводную от каждого слагаемого и проинтегрировать по переменной x.

∫(4x³-3x²)dx = ∫4x³dx - ∫3x²dx

Для каждого слагаемого, применим формулы интегрирования степеней x:

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(ⁿ⁺¹)

Применив данные формулы, получим:

∫4x³dx - ∫3x²dx = (4/4)x⁴ - (3/3)x³ + C

Упрощаем выражение:

x⁴ - x³ + C.

Таким образом, интеграл данной функции равен x⁴ - x