Заметим, что множество точек, являющихся центрами окружностей, вписанных в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Касание двух окружностей может быть внутренним, а может быть внешним. Случай внутреннего касания, очевидно, невозможен. Остается лишь случай внешнего (единственность).
Рассмотрим бесконечную серию окружностей вписанных в этот угол. Понятно, что радиусы окружностей убывают как геометрическая прогрессия (здесь наблюдается преобразование подобия — гомотетия). Пусть радиус меньшей окружности (с радиусом 5) равен 
. Тогда отрезок, начало которого в вершине прямого угла, а конец в центре большой окружности, можно посчитать через сумму бесконечной геометрической прогрессии: 
, где 
— отношение радиусов соседних окружностей. С другой стороны, по теореме Пифагора: 
. Имеем: 
, причем 
, откуда 
