Dangssa
10.05.2023 12:53

Для любого действительного значения x выполняется равенство f(x+2)+af(x)=f(x+1), при этом f(3)=2013, a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, f: R\to R Найдите f(2013)

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ
Ответ:
usimbekovameruert
15.10.2020 16:04

Заметим, что a - корень уравнения a^2 - 3a+1=0

Имеем f(x+2) = f(x+1) - af(x)

Рассмотрим последовательность

f(x) = p\\f(x+1) = q\\f(x+2) = q-ap\\f(x+3) = q(1-a)-ap\\f(x+4) = q(1-2a) + (a^2-a)p = q(1-2a)+p(2a-1)\\f(x+5) = q(1-3a+a^2) + p(a^2+2a-1) = (5a-2)p = (5a-2)f(x)

Это справедливо для любого x,  в том числе для x=3. Следовательно

f(x+5n) = (5a-2)^nf(x)

Наконец, отмечая что 2010 = 5*402, получим

f(2013) = f(3+5\cdot402) = 2013(5a-2)^{402}

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота