A) В трeугольникe АВС провeдeны высоты ААЙ и ВВ1. Извeстно, что АВ=6, А1В1=. Чeму равeн угол АСВ? (Первая лeмма о высотах). b) Угол АСВ трeугольника АВС равeн 60 градусов. Высоты АА1 и ВВ1 пeрeсeкаются в точке Н, ВН=3, НВ1=2. Чeму равна высота АА1? (Вторая лeмма о высотах).

Если в треугольнике все углы составляют более 60°, то сумма углов составит более 180°. Следовательно хотя бы один угол составляет не более 60°.


1) Пусть a + b + c = (3/2)pi, a > 0, b > 0, c > 0, ((2/3)a, (2/3)b, (2/3)c) - углы треугольника.
Если a=b=c = pi/2, то равенство выполняется ! Поэтому есть наименьшая величина, например c, где a+b = (3/2)*pi - c, 0 < c < pi/2, и pi < a+b < pi+pi/2.

2) Исходное равенство :
sin(a) + sin(b) - sin(c) - ( cos(a) + cos(b) + cos(c) ) = 1 ( * )

Известно, что sin( pi/2 + x ) = cos(x), sin(c) = sin( 3/2*pi - (a+b) ) = - cos(a+b), cos(c) = -sin(a+b).
Из ( * ) > (sin(a)-cos(a)) + (sin(b)-cos(b)) + (cos(a+b) + sin(a+b)) = 1, ( sin(a) - sin( a + pi/2) ) + ( sin(b) - sin( b + pi/2) ) + ( sin( a+b) +
sin( a+b+pi/2) ) = 1 > sin(a+b+pi/4) - sqrt(2)/2 = cos(a+pi/4) + cos(b+pi/4) > sin(a+b+pi/4) - sin(pi/4) =cos(a+pi/4) + cos(b+pi/4) >

2sin((a+b)/2)*cos((a+b)/2 + pi/4) = 2cos((a+b)/2+pi/4)*cos((a-b)/2) >

sin((a+b)/2)*cos((a+b)/2+pi/4) = cos((a+b)/2+pi/4)*cos((a-b)/2) [/b] .

Так pi/2 + pi/4 < (a+b)/2 + pi/4 < pi, то cos((a+b)/2+pi/4) <> 0 !

Тогда sin((a+b)/2) = cos((a-b)/2) >

sin((a+b)/2) - sin((a-b)/2 + pi/2) = 0 >
sin((b-pi/2)/2)*cos((a+pi/2)/2) = 0, b = pi/2 или УГОЛ(b) = pi/3 ,
a + pi/2 = pi, a = pi/2. Равенство a + pi/2 = 3pi невозможно !

ответ один из углов всегда будет 60 градусов

Казалось бы, что при общении с друзьями не нужны никакие правила, ведь это близкие нам люди, которые воспринимают нас такими, какие мы есть. Это заблуждение, которое может привести к потере контакта. Например, в общении с другом при посторонних, мы, как правило, не переходим на «Вы», и частенько обращаемся к собеседнику не по имени, а по «кличке». Нам в голову не приходит, что человеку это может быть неприятным.

Сначала мы позволяем себе «колкие шуточки» и насмешки в адрес друзей, слегка пренебрежительный тон, а затем искренне удивляемся, почему в нашей жизни так мало хороших друзей или почему они больше не хотят проводить вместе с нами время.

Хочется отметить, что как бы ни менялся мир и наши взгляды, всегда будет актуальным основное правило общения между людьми – это уважение. Родственник, начальник, попутчик в поезде – не имеет значения, каждый человек достоин уважительного отношения. Постигнув эту истину, каждый получит шанс стать самой интересной личностью для других