В копилке лежат 300 монет. Петя достаёт из копилки любое количество монет, а Вася выбирает, кто эти монеты заберёт. Так продолжается, пока кто-то не заберёт себе монеты 11 раз, тогда другой забирает себе всё, что осталось в копилке. Игра заканчивается, когда в копилке не осталось монет (это может произойти и до 11-го хода). Какое наибольшее число монет может гарантировать себе Петя вне зависимости от действий Васи?

Не могут.

Решение. Покажем, как играть Пете, чтобы он смог забрать со стола последнюю монету независимо от игры Васи и Толи. Пусть первым ходом Петя возьмет 4 монеты. Заметим, что Вася и Толя за свои ходы суммарно могут взять от 2 до 4 монет. Это значит, что после первого хода Толи на столе останется от 292 до 294 монет. После этого Пете нужно взять 2, 3 или 4 монеты так, чтобы на столе осталось 290 монет. А теперь, если Вася и Толя будут брать суммарно 2, 3 или 4 монеты, Пете нужно брать соответственно 3, 2 или 1 монету, чтобы после каждого его хода число монет, остающихся на столе, делилось на 5. Таким образом, он оставит 285, 280, . . . , 5 и, наконец, 0 монет, то есть заберет со стола последнюю монету.