4, 64.
Пошаговое объяснение:
Очевидно, арифметические прогрессии с разными разностями не могут содержать больше, чем одно общее число.
Второе наблюдение: непостоянная арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия не могут иметь больше двух общих членов.
Действительно, пусть x - d, x и x + d - геометрическая прогрессия (это арифметическая прогрессия по построению). Тогда
Если бы у арифметических прогрессий был бы общий член, то любая другая подпоследовательность длины 4 содержала бы как минимум 3 члена одной из этих прогрессий. Значит, арифметические прогрессии не имеют общих членов.
Остается два варианта:
1) Последовательность: x - 12, x - 8, x - 4, x, y, y + 16, y + 32, y + 48.
Геометрическая прогрессия: x - 4, x, y, y + 16. Условие того, что это геометрическая прогрессия:
Корень первого сомножителя y = 0. Ищем корни скобки:
Итак, y = -16/3, 0 и 16. Им соответствуют
x = 8/3, x = 0 и x = 8, соответственно. Первые два варианта не подходят, при этом последовательность не получается возрастающей. Остается единственный вариант: x = 8, y = 16. Тогда последовательность имеет вид:
-4, 0, 4, 8, 16, 32, 48, 64.
2) Последовательность: x - 48, x - 32, x - 16, x, y, y + 4, y + 8, y + 12.
Геометрическая прогрессия: x - 16, x, y, y + 4. Условие того, что это геометрическая прогрессия:
Заметим, что если поменять x на -y, а y на -x, то получится точно такая же система, что и в первом случае. Тогда и решения её известны: (-16, -8), (0, 0) и (16/3, -8/3).
Вновь только первое решение соответствует возрастающей последовательности:
-64, -48, -32, -16, -8, -4, 0, 4.
