Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у=cos2x в точке x0=π4 .

Хорошо, начнем!

Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции у=cos2x в точке x0=π/4, нам понадобятся следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции у=cos2x.

Производная функции у=cos2x вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Для этого используем формулу:

(d/dx) cos(u) = -sin(u) * (du/dx),

где u = 2x.

В нашем случае, производная функции будет:

(dy/dx) = (d/dx) cos(2x) = -sin(2x) * (d/dx) (2x).

Шаг 2: Вычислите значение производной в точке x0=π/4.

Подставим значение x0=π/4 в выражение для производной:

(dy/dx) = -sin(2 * (π/4)) * 2.

Упростим:

(dy/dx) = -sin(π/2) * 2 = -1 * 2 = -2.

Шаг 3: Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке x0=π/4.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции у=cos2x в точке x0=π/4 равен -2.

Обоснование и пояснение:

Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции, мы используем производную этой функции. Производная показывает, как изменяется функция в каждой точке и является основой для определения углового коэффициента касательной.

Производная функции у=cos2x выражается через trigonometric функцию sin 2x, поэтому мы используем правило дифференцирования cos(u) для вычисления производной. После вычисления производной, мы подставляем значение x0=π/4 и получаем конкретное значение производной в этой точке. Это значение соответствует угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен -2. Это означает, что касательная линия имеет наклон вниз и идет под углом 45 градусов к горизонтальной оси.