m² + 7m - 139 = n²
Рассмотрим данное уравнение как
квадратное относительно m:
m² + 7m - 139 - n² = 0
m² + 7m - (139 + n²) = 0
Находим дискриминант:
D = 49 + 4*139 + 4n² =
= 49 + 556 + 4n² = 605 + 4n²
Разложим число 605 на
простые множители: 605 = 5*11*11.
Тогда D = 5*11*11 + 4n²
D - 4n² = 5*11*11
Так как дискриминант должен являться квадратом
целого числа D = k², то рассматриваем случаи
k² - 4n² = 5*11*11 => (k - 2n)(k + 2n) = 5*11*11
k - 2n = 5, k - 2n = 11, k - 2n = 55,
k - 2n = 121 и k - 2n = 605
Соответственно и для k + 2n.
Имеем набор дискриминантов 63², 33²
и 303². Находим соответственно
корни исходного уравнения:
Для D = 33
m₁ = (-7 - 33)/2 = -40/2 = -20
m₂ = (-7 + 33)/2 = 26/2 = 13
Для D = 63
m₁ = (-7 - 63)/2 = -70/2 = -35
m₂ = (-7 + 63)/2 = 56/2 = 28
Для D = 303
m₁ = (-7 - 303)/2 = -310/2 = -155
m₂ = (-7 + 303)/2 = 296/2 = 148
Таким образом уравнению удовлетворяют
12 решений (m, n) = (-20, -11), (m, n) = (-20, 11), (m, n) = (13, -11) и (m, n) = (13, 11), (m, n) = (-35, -29), (m, n) = (-35, 29), (m, n) = (28, -29) и (m, n) = (28, 29), (m, n) = (-155, -151), (m, n) = (-155, 151), (m, n) = (148, -151) и (m, n) = (148, 151)
ответ: на 22.
Заметим 11^1 заканчивается на 11, 11^2 на 21, 11^3 на 31, 11^4 на 41, 11^5 на 51, 11^6 на 61, 11^7 на 71, 11^8 на 81, 11^9 на 91, 11^10 на 01, 11^11 на 11, зациклились за 10 шагов, период длины 10.
2018 делим на 10, в остатке 8, поэтому берём 8-е число последовательности, то есть 81.
Теперь считаем для 19. 19^1 заканчивается на 19, 19^2 на 61, 19^3 на 59, 19^4 на 41, 19^5 на 89, 19^6 на 01, 19^7 на 19.
2018 делим на 6, в остатке получается 4, значит берём 4-е число, то есть 41. Получается 81 + 41 = 122, то есть заканчивается на 22.
