Взрослый билет в музей стоит 140 р., а детский (для школьника) - 40 р. Если вместо 3 взрослых билетов приобрести билеты на дюжину школьников (дюжина - 12) и одного взрослого сопровождающего, то сколько нужно доплатить в кассу?

N=6 
216-144+24=96 много
С₅ 
5 крашенных граней
число крашенных кубиков К₅ = N²+4(N-1)(N-1) = 5N²-8N+4
Число некрашенных кубиков H₅ = N³-5N²+8N-4
Попробуем
H₅ = N³-5N²+8N-4 = 45
пробуем целые N
N=3
27-45+24-4 = 2 мало
N=4
64-80+32-4 = 12 мало
N=5
125-125+40-4 = 36 мало
N=6 
216-180+48-4=80 много
С₆ 
6 крашенных граней
число крашенных кубиков К₆ = 2N²+4(N-1)(N-2) = 6N²-12N+8
Число некрашенных кубиков H₆ = N³-6N²+12N-8
Попробуем
H₆ = N³-6N²+12N-8 = 45
пробуем целые N
N=4
64-96+48-8 = 8 мало
N=5
125-150+60-8 = 27 мало
N=6 
216-216+72-8=64 много

Всё!
Найдено единственное решение, куб состоит из 5³=125 кубиков, раскраска такова, что две неокрашенные грани противоположны.

A²-b²=(a-b)(a+b). Если а и b имеют одинаковую четность, то а-b и a+b
 - оба четные, т.е. (a-b)(a+b) кратно 4. Если a и b имеют разную четность, то a-b и a+b - оба нечетные, т.е. a²-b² - тоже нечетное. Таким образом, в виде разности квадратов нельзя представить числа вида 4k+2. Любое число кратное 4 и любое нечетное можно представить в виде разности квадратов, т.к. 4k=(k+1)²-(k-1)² и 2k+1=(k+1)²-k². Значит количество чисел не представимых в виде разности квадратов равно количеству чисел вида 4k+2, т.е. в каждой четверке начиная с 1 имеется ровно одно такое число, а значит их количество равно 1000/4=250.