1) У выпуклого многогранника 6 вершин и 5 граней. Сколько у него ребер? А) 5; В) 7; С) 9; Д) 12. [1]

2) Сколько граней и ребер имеет призма, у которой 60 вершин?
Поясните ответ. [1]

3) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 дм и 5 дм,
острый угол равен 600. Найдите высоту параллелепипеда, если его большая
диагональ равна 25 дм. [3]

4) Стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда
равны 8 см, 9 см и 17 см. Чему равна площадь диагонального сечения
этого параллелепипеда? [3]

5) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 14 см,
а сторона основания 16 см. Найдите боковое ребро пирамиды и
длину апофемы боковой грани. [4]

1) У выпуклого многогранника число ребер связано с числом вершин и граней через формулу Эйлера:

Число ребер = Число вершин + Число граней - 2

В данном случае, у многогранника 6 вершин и 5 граней. Подставим значения в формулу:

Число ребер = 6 + 5 - 2 = 9

Ответ: С) 9 ребер.

2) У призмы каждая из вершин имеет по две ребра. Так как у каждого ребра есть две вершины, то общее число ребер можно найти, умножив число вершин на 2 и разделив на 2, чтобы учесть каждое ребро только один раз.
В данном случае, у призмы 60 вершин. Подставим значение в формулу:

Число ребер = (60 * 2) / 2 = 60

Ответ: призма имеет 60 ребер.
Число граней в призме можно найти, используя формулу Эйлера, подставив значения:

Число граней = Число вершин + Число ребер - 2 = 60 + 60 - 2 = 118

Ответ: призма имеет 118 граней.

3) У прямого параллелепипеда две основания - прямоугольные треугольники, а его высота соответствует боковой стороне. Поэтому для нахождения высоты параллелепипеда нам нужно найти длину боковой стороны параллелепипеда.

Для нахождения боковой стороны параллелепипеда можно использовать теорему Пифагора, так как у нас есть две стороны треугольника: 3 дм и 5 дм, а гипотенуза равна 25 дм.

Пусть x - боковая сторона параллелепипеда. Тогда по теореме Пифагора:

x^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34

x = √34

Таким образом, боковая сторона параллелепипеда равна √34 дм.

Высота параллелепипеда равна длине его боковой стороны, поэтому высота равна √34 дм.

Ответ: высота параллелепипеда равна √34 дм.

4) Для нахождения площади диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда нужно найти площадь прямоугольника, образованного диагональю основания и высотой параллелепипеда.
По теореме Пифагора, диагональ основания равна:

d = √(8^2 + 9^2) = √(64 + 81) = √145 см

Площадь диагонального сечения равна произведению диагонали основания на высоту параллелепипеда:

Площадь сечения = √145 * 17 см = 17√145 см^2

Ответ: площадь диагонального сечения равна 17√145 см^2.

5) Для нахождения бокового ребра пирамиды можно использовать теорему Пифагора, так как у нас есть высота пирамиды (14 см) и сторона основания пирамиды (16 см).

Пусть a - длина бокового ребра пирамиды. Тогда по теореме Пифагора:

a^2 = (16/2)^2 + 14^2 = 8^2 + 14^2 = 64 + 196 = 260

a = √260

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна √260 см.

Апофема боковой грани пирамиды - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой боковой грани. Апофема является высотой прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен половине стороны основания (8 см), а гипотенуза равна длине бокового ребра.

По теореме Пифагора:

a^2 = (8/2)^2 + h^2

√260^2 = 4^2 + h^2

260 = 16 + h^2

h^2 = 260 - 16

h^2 = 244

h = √244

Таким образом, длина апофемы боковой грани пирамиды равна √244 см.

Ответ: боковое ребро пирамиды равно √260 см, а длина апофемы боковой грани равна √244 см.