Уравнения
1. Решите уравнение: 3^{7 - x} = 3
2. Решите уравнение: (x − 8)² = (x + 9)²
3. Решите уравнение: log2 (5 + 4x) = log2 (1 − 4x) + 1
4. Решите уравнение: log5 (x^{2} + 5x) = log5 (x^{2} + 9)
5. Решите уравнение: log2 (4 − x) = 7
6. Решите уравнение: x^{2} − 17x + 72 = 0
7. Решите уравнение: (2x + 7)² = (2x − 1)²
8. Решите уравнение: (5x − 8)² = (5x − 2)²
9. Решите уравнение: (x − 6)² = − 24x
10. Решите уравнение: x^{2} + 9 = (x + 9)²
Задачи
Задача №1
Докажите, что уравнение xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах.
Задача №2
Докажите, что если α, β, γ — углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.
Задача №3
Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен сверху так, что касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.
Задача №4
Докажите неравенство x^{2} −2x^{3}< 1/6 на луче [1/4; + ∞).
Задача №5
В прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.
