№9
Найти y' и y'' функции
x=5cos t
y=4sin t
P. S. (эти два уравнения, в системе) ​

Для начала, нам нужно найти производную функции y по отношению к переменной t (y'). Для этого мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Заметим, что функция y зависит от переменной t, поэтому мы можем записать y как функцию от x. Для этого мы подставим выражение для x в уравнение функции y:

y = 4sin t = 4sin (arccos(x/5))

Теперь мы можем применить правило дифференцирования сложной функции:

y' = d(4sin(arccos(x/5))) / dt

Давайте найдем каждый шаг дифференцирования отдельно:

1. Дифференцирование внешней функции 4sin:
dy1/dt = 4 * cos(arccos(x/5)) * d(arccos(x/5)) / dt

2. Дифференцирование внутренней функции arccos(x/5):
d(arccos(x/5)) / dt = -1 / sqrt(1 - (x/5)^2) * d(x/5)/dt

3. Дифференцирование x/5:
d(x/5) / dt = (1/5)(-sin t)

Теперь, давайте подставим значения в формулу:

dy1/dt = 4 * cos(arccos(x/5)) * ( -1 / sqrt(1 - (x/5)^2) * (1/5)(-sin t))

Теперь нам нужно заменить x и t в этом выражении, используя данные из задачи. В уравнении сказано, что x = 5cos t. Подставим это значение:

dy1/dt = 4 * cos(arccos((5cos t)/5)) * ( -1 / sqrt(1 - ((5cos t)/5)^2) * (1/5)(-sin t))

Теперь мы можем упростить это выражение, сократив некоторые значения:

dy1/dt = 4 * cos(arccos(cos t)) * ( -1 / sqrt(1 - (cos t)^2) * (1/5)(-sin t))

Теперь мы можем упростить внутреннюю функцию, сократив arccos и cos:

dy1/dt = 4 * cos t * ( -1 / sqrt(1 - (cos t)^2) * (1/5)(-sin t))

Теперь у нас есть значение производной y' функции y. Для нахождения y'' мы снова дифференцируем выражение для y':

y'' = d(dy1/dt) / dt

Теперь, чтобы найти y'', мы просто дифференцируем dy1/dt снова. Давайте найдем это:

d(dy1/dt) / dt = d(4 * cos t * ( -1 / sqrt(1 - (cos t)^2) * (1/5)(-sin t))) / dt

1. Дифференцирование внешней функции 4cos t:
d(4 * cos t) / dt = -4sin t

2. Дифференцирование внутренней функции (-1 / sqrt(1 - (cos t)^2) * (1/5)(-sin t)):
d(-1 / sqrt(1 - (cos t)^2) * (1/5)(-sin t)) / dt =
-1/sqrt(1 - (cos t)^2) * ((-1/2)(-2sin t)(-sin t) * (1/5)(-sin t))

Теперь заменим значения функций и переменных и сократим значения:

d(dy1/dt) / dt = -4sin t *(-1/sqrt(1 - (cos t)^2) * ((-1/2)(-2sin t)(-sin t) * (1/5)(-sin t))

Упростим это выражение:

d(dy1/dt) / dt = -4sin t * (-1/sqrt(1 - (cos t)^2) * ((1/2)(2sin^2 t) * (1/5)(-sin t))

Сократим значения:

d(dy1/dt) / dt = -4sin t * (-1/sqrt(1 - (cos t)^2) * (sin^2 t * -1/5)

Теперь у нас есть значение второй производной y'' функции y.

В итоге, y' = -4sin t * (-1/sqrt(1 - (cos t)^2) * (sin^2 t * -1/5)

А y'' = -4sin t * (-1/sqrt(1 - (cos t)^2) * (sin^2 t * -1/5)

Это максимально подробное и обстоятельное решение для нахождения y' и y'' функции, используя данные в задаче.