3. Тор и Локи по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски 8⇥8 так, чтобы слоны не били друг друга. Начинает Тор. Тот, кто не может сделать ход, проиграл.
Кто из них может выиграть, как бы ни играл соперник? Напомним, что слоны бьют
по диагонали на любое число клеток.

ответ:12

Пошаговое объяснение:

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/{pi}.

Сначала найдем радиус  круга. Считаем клеточки, и получаем, что радиус равен 4.

Тогда площадь круга равна {pi}r^2=4^2{pi}=16{pi}

Заштрихованная фигура - это половина круга, и ее площадь равна S/2=8{pi}

В ответе записываем S/{pi}.

ответ: 8

2. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/{pi}.

Сначала найдем радиус  круга. Считаем клеточки, и получаем, что радиус равен 3.

Тогда площадь круга равна {pi}r^2=3^2{pi}=9{pi}

Найдем, какую часть заштрихованная фигура составляет от круга.

Мы видим, что заштрихованная фигура - это половина круга и еще одна четверть от половины, то есть одна восьмая.

1/2+1/8=5/8

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры составляет 5/8 от площади круга.

S={5/8}*9{pi}=5,625{pi}

В ответе записываем S/{pi}.

ответ: 5,625

 

3. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/{pi}.

Сначала найдем радиус  круга. Считаем клеточки, и получаем, что радиус равен 4.

Тогда площадь круга равна {pi}r^2=4^2{pi}=16{pi}

Найдем, какую часть круга составляет незакрашенный сектор. Если мы незакрашенный центральный угол повернем на угол alpha, то увидим, что его величина равна 90^{circ}:

Сектор 90^{circ} - это 1/4 часть круга. Следовательно, закрашенный сектор - это 3/4 круга. И его площадь равна S={3/4}*16{pi}=12{pi}

В ответе записываем S/{pi}.

ответ: 12

1) Дробь X = m/n
(m - 1)/(2n) = 1/11
Из свойства пропорции получаем
11(m-1) = 2n
m - двузначное и (m-1) - четное, потому что 11 - нечетное.
Значит, m - нечетное. И n делится на 11.
Минимальное m = 11
(m-1)/(2n) = 10/(2n) = 1/11
2n = 11*10 = 110, n = 55
Тогда X = 11/55 = 1/5, а Х должно быть несократимо.
Пусть m = 13, тогда
(m-1)/(2n) = 12/(2n) = 1/11
2n = 11*12 = 132, n = 66
X = 13/66
ответ: 13+66 = 79

2) Про Катю я уже решал. Кучек 60, конфет 1952.
У Кати всего N конфет - неизвестно, сколько.
В кучках у неё арифметическая прогрессия. a1 = 2; d = 1.
В последней n-ной кучке a(n) = a1+d(n-1) = 2+1(n-1) = n+1
И это 1/32 часть всех конфет. n+1 = N/32.
Общее количество кучек и конфет N + n = 2012.
Получаем систему
{ N = 32(n + 1) = 32n + 32
{ N + n = 32n + 32 + n = 33n + 32 = 2012
n = (2012 - 32)/33 = 1980/33 = 60 - кучек.
N = 32n + 32 = 32*60 + 32 = 1952 - конфет.

3) Числа a, b, c.
a = 3c + 7; b = 2c + 3
a + b + c = 3c + 7 + 2c + 3 + c = 100
6c + 10 = 100
c = 90/6 = 15; a = 3*15 + 7 = 52; b = 2*15 + 3 = 33

4) Не знаю.

5) Чтобы два государства не имели общей границы, одно должно находиться сежду двух других.
Для этого две стороны острова должны быть как можно ближе друг к другу. Треугольник должен быть тупоугольным.
Границы проходят по серединным перпендикулярам к отрезкам, соединяющим столицы.