20Б Дано правильну чотирикутну піраміду, апофема якої дорівнює l. Бічна грань піраміди утворює з основою кут β.
Знайдіть:
а) висоту піраміди;
б) радіус кола, вписаного в основу піраміди;
в) сторону основи піраміди;
г) площу основи піраміди;
д) площу бічної поверхні піраміди;
е) площу повної поверхні піраміди.

                   V                  t                  S
Первый     2/x                 2                  x
Второй     3/(x+18)          3                  x+18
52/2=26км/ч - скорость сближения
2/х+3/(х+18)=26
(2(x+18)+3x)/x(x+18)=26
2x+36+3x/x2+18=26
5x+36/x(x+18)=26
5x+36/x(x+18)-26/1=0
5x+36-26(x2+18x)/x(x+18)=0
5x+36-26x2+468/x(x+18)=0
-26x2+5x+504/x(x+18)
{-26x2+5x+504 = 0 | *(-1)            x не равно 0; x не равно -18
{x(x+18) не равно 0
26x2-5x-504=0
D=25+52416=52441
x1=5+229=234
x2=5-229=-224 - посторонний корень
2/234=1/117км/ч - скорость первого
3/(234+18)=3/252=1/84км/ч - скорость второго

Пусть высота будет DH, а вершины правильного треугольника - A, B, C.

Рассмотрим один боковой треугольник ADB. Он у нас равносторонний, следовательно, углы при основании 45 градусов. Тогда выходит, что угол ADB = (180-45)/2=90. Т.к. треугольник ADB равнобедренный, то его высота DH это еще и медиана и биссектриса => угол ADH = угол ADB / 2 = 90 / 2 = 45. Рассмотрим треугольник ADH. Т.к. угол при основании треугольника ADB (угол HAD) = 45 градусов и угол ADH = 45, то треугольник ADH равнобедренный по углам при основании => AH = DH = 2 корень из 3. DH - это ведь одновременно и биссектриса и высота и медиана, так ведь? Тогда AB = 2 * AH = 2 * 2кореньиз3 = 4кореньиз3. Площадь треугольника равна половине произведения высоты DH на сторону AB => SADB = 2кореньиз3 * 4 кореньиз / 2 = 12. Так как все боковые треугольники равны, то площадь боковой поверхности пирамиды равна 3 * 12 = 36.
Конечно, это можно было решить иначе, но этот как по мне, проще понять, да?