Общая схема исследования и построения графика функции
1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.
Вся числовая ось, разрывов нет.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной. Ни та, ни другая, функция общего вида.
3. Выяснить, является ли функция периодической. Нет.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).
у = 0, х = -091857,
х =0, у = 5.
5. Найти асимптоты графика. Нет.
6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.
Производная равна 6х² - 6х + 1.
Решаем уравнение 6*x^2-6*x+1=0:
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-6)^2-4*6*1=36-4*6=36-24=12;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√12-(-6))/(2*6)=(√12+6)/(2*6)=(√12+6)/12=√12/12+6/12=√12/12+0.5 ≈ 0.788675134594813;
x₂=(-√12-(-6))/(2*6)=(-√12+6)/(2*6)=(-√12+6)/12=-√12/12+6/12=-√12/12+0.5 ≈ 0.211324865405187.
Есть 2 критические точки: х₁ = (1/2)+(√3/6) и х₂ = (1/2)-(√3/6).
7. Найти промежутки монотонности функции.
Убывает на промежутках (-oo, -sqrt(3)/6 + 1/2] U [sqrt(3)/6 + 1/2, oo)
Возрастает на промежутках [-sqrt(3)/6 + 1/2, sqrt(3)/6 + 1/2]
8. Определить экстремумы функции f(x).
х₁ = (1/2)+(√3/6) это максимум
и х₂ = (1/2)-(√3/6) это минимум.
9. Вычислить вторую производную f''(x) = 6(2х-1) х = 1/2.
10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.
Вогнутая на промежутках [1/2, oo)
Выпуклая на промежутках (-oo, 1/2]
11. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Дан в приложении.
