Рассмотри как выполнено умножение попробуй обьяснить запись

1)y=-x^2 - 6mx + m - квадратичная функция графиком которой является парабола, ветви которой напрвлены вниз(а меньше 0).

Найдем координаты вершины параболы:

х = -b/2a=6m/-2=-3m

y = -9m^2+18m^2+m=9m^2+m

 

2)y=x^2 -4mx -2 - квадратичная функция графиком которой является парабола, ветви которой напрвлены вверх(а больше 0).

Найдем координаты вершины параболы:

х = -b/2a=2m

y =4m^2-8m^2-2=-4m^2-2

 

Из 2 следует что функция y=x^2 -4mx -2, может располагаться только в верху и m может принимать любые значения т.к.

y=-4m^2-2>0

m^2>-0.5

 

Значит рассматриваем функцию y=-x^2 - 6mx + m.

y=9m^2+m>0

m(9m+1)>0

m>0

m>-1/9

Следовательно m принадлежит промежутку (-1/9;+)

 

 

 

 

Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти: 
1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a.Решение. 
z = 5*x^2*y+3*x*y^2
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0). 
Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А. 
б) производную в точке А по направлению вектора а.Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2). 
z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^xРешение. 
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: 

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2). 

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:
 
Для вектора a имеем: 
 
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №4. Дана функция . Найти: 
1) gradu в точке A(5; 3; 0); 
2) производную в точке А в направлении вектора . 
Решение. 
1. . 
Найдем частные производные функции u в точке А. 
;; 
, . 
Тогда  
2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле 
. 
Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор  вектора . 
, где . 
Отсюда .Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a. 
Решение. 
Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:
 
Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.